Страница 82 - Разум природы и разум человека - А.М. Хазен - Философия как наука - Философия на vuzlib.su
Тексты книг принадлежат их авторам и размещены для ознакомления Кол-во книг: 64

Разделы

Философия как наука
Философы и их философия
Сочинения и рассказы
Синергетика
Философия и социология
Философия права
Философия политики

  • Статьи

  • align=left style='text-align:left'>Квазикристаллы как важнейшие структуры жизни

    Этот параграф входил в отдельную главу этой книги. Но, хотя её содержание важно для этой работы в целом, я перенёс её в книгу [12], так как понятия и аппарат, даже в той части что здесь оставлены, сложны и специфичны. Но в кратком виде изложить это здесь необходимо.

    Механика Гамильтона и её развитие в работах Гиббса ввели в науку непривычное понятие о 6N-мерном фазовом про­ст­­ранстве. С глу­бо­кой древности природа в представлениях человека “плавала на трёх китах в безбрежном океане”. Любой научный работник такое се­год­ня вос­принимает как сказку прошлого. Однако за непостижимым для мно­­гих современным математическим аппаратом, включая теорию отно­си­тельности, квантовую электродинамику, “великие объединения” спря­та­ны всё те же “три ки­та” и внешний “безбрежный океан” – пусть дейст­ви­тельно произо­шёл Большой Взрыв, но в чём он произошёл? – всё в том же внешнем по от­ношению к нему “безбрежном океане”.

    Основа основ науки – механика – в строгом смысле такого уже око­ло 150-ти лет не требует, хотя это и остаётся непонятым. Уравнения Гамильтона утверждают, что по­я­вилась в задаче механики в качестве объек­та одна “частица” – этим она сама для себя создала элемент прост­ранства с кон­фигу­ра­ци­он­ными (гео­мет­рическими) координатами  q1  и  движени­ем, опи­сываемым импуль­сами   p1 – движение и положение в природе есть одно нераздельное целое. Нужна в данной задаче тысячная частица – вместе с ней по­явилось и её пространство с координатами   q1000  и   p1000 . В клас­си­­чес­кой механике такое пространство есть абс­т­рак­т­­ный мысленный объект. Почему этот объект есть реаль­ность, а не толь­ко умст­вен­ное по­строение, строго показано в [11], [12]. Но всем извест­ный из элементарной фи­зики (и, особенно, по его роли в химии) прин­цип запрета Паули ут­верж­дает реальность фазового пространства. Ведь упаковка атомов в хи­ми­ческие соединения происходит в 6N-мер­ном прост­ран­ст­ве. Имен­но в нём непроницаемые электроны оболочек атомов – “мешки” положений и движений приспосабливающейся формы – укла­ды­ваются друг к другу мак­си­мально плот­но “без зазоров”.

                Главное в механике Гамильтона – это новое понятие о простран­ст­ве – каждая “частица” вводит своё приращение в составе определения (1.14) элемента объёма 6N-мерного фазового прост­ранства. Дж. Гиббс на рубеже конца ХIХ века за­ложил основы стати­сти­чес­кой механики. Глав­ным в ней стали понятия – фаза и фазовое пространство.

    Рис. 6.11.

     
                В современном школьном и студенческом виде при­вычны два при­ме­не­ния термина – фаза. В ме­ханике он описывает началь­ные условия при вра­ща­тельном движе­нии или коле­ба­ниях – уг­ло­­вые коор­ди­наты, с ко­торых на­чалось данное вра­ща­тельное или коле­ба­тель­ное дви­жение. В хи­мии этот термин приме­ня­ют по от­но­ше­нию к сос­тоянию ве­ще­ства, на­при­­мер, твёр­дая или жид­кая его фаза. Строго го­во­ря, у Гиббса аналогии с обоими по­­­ни­ма­ниями этого термина есть. Поясню.

                Надо рассмотреть для этого некоторый объём в 6N-мерном прост­ран­стве. Но как его на­рисовать на картинке? Непонятно! Поэтому нари­сую просто трёх­мер­ную “ко­роб­ку” (рис. 6.11), ко­то­рая явно не­при­ме­ни­ма в данном случае. Частицы, на­пример газа, за­да­ны в ней одновременно положением (ко­ор­динатами qj) и движением (им­пуль­са­ми  pj) как еди­ным це­лым. На них дей­ст­вуют, определяя их по­тен­циальную энер­гию, внеш­ние тела  ai .

    В этом объёме с помощью уравнений Га­миль­тона описывают сос­тояние и движение множества заданных элементов системы (час­тиц), на­при­­мер, газ. Начальные по­ложения и им­пульсы всех час­тиц известны. Ес­­ли урав­нения Гамильтона ре­­шить, то можно найти по­ло­же­ния (кон­фигу­рации) и скорости (им­пуль­сы) всех моле­кул газа в лю­бой за­данный момент вре­ме­ни – сос­то­я­ние газа как сис­темы из многих эле­мен­тов. С по­мо­щью сов­ре­мен­ных компьютеров та­кие ре­ше­ния хо­тя бы для силь­но разреженного га­за – реаль­ность.

    Гиббс назвал фазой “мгно­­венную фотогра­фию” час­тиц (включая не только по­ло­жения, но и им­пульсы), которые находятся в заданном объё­ме фазово­го простран­ст­ва – внутри лишённой нагляд­но­сти  6N-мер­ной “коробки”. Разные “фо­тографии” от­личают разные начальные ус­ло­вия для движения частиц. Одно­вре­мен­но любая “фотография” мо­жет быть использована в ка­честве начальных условий для реше­ний урав­не­ний Га­миль­тона в по­с­ледующие моменты вре­мени. Ведущая роль на­чаль­­ных условий определяет связь фаз в тер­ми­­но­логии Гиббса с фазой как этот тер­мин исполь­зуют в теории коле­ба­ний. При этом фа­за Гиб­бса сохраняет аналогию с “сухим остатком” в про­бир­ке, как он виден в ин­ди­ви­дуальности рас­поло­жения образующих его комочков веще­ст­ва. Каж­­дое значение фазы механи­ческой системы у Гиб­бса – аналог од­но­го из рас­положений “ко­моч­ков”.

    Существуют случаи, когда с хорошей точностью приближённо мож­­но перейти от 6N-мерного пространства к просто шестимерному. Тогда рис. 6.11 хоть чуть становится похожим на правду, так как можно (с определёнными оговорками) отдельно рассматривать конфигурацион­ный трёхмерный объём и в нём трёхмерные импульсы (как стрелки, под­ве­шен­ные к материаль­ным точкам). Это есть осреднение системы и по­ве­дения в ней её элементов. “Мгно­вен­ные фотографии” (в том смысле, как это было пояснено выше) – фазы – заполняют объёмы в таком ше­с­ти­мерном фазовом прост­ранстве. В газе с его хаосом молекул нагляд­ности их описания даже в трёхмерном пространстве немного. Тем более можно про­жить и без кар­ти­нок в шестимерном пространстве. 

    Иное положение при описании твёрдых тел. Структуру твёрдых веществ или их частного случая биообъектов (не всегда ощутимо твёр­дых) определяет объеди­не­ние атомов между собой. Прямо или косвенно в этом участвует принцип плотной упаковки атомов. Кристаллы есть на­г­лядный результат такой упаковки, когда её можно изобразить в терми­нах и координатах обычного для нас трёхмерного пространства.

    В основе общеизвестного понятия – кристалл – лежит принцип пе­ри­­о­дического повторения в пространстве одного и того же эле­мента, обра­зо­ванного одинаковыми атомами в одинаковой конфигу­рации. На боль­­ших или малых рас­сто­яниях от заданной точки объёма вещества этот эле­­мент остаётся тож­дественным и как целое плотно упакован с со­се­дями. Такой элемент кристалла – “кирпич” – исходно может иметь раз­ную форму. В зависимости от формы элемента разным будет внеш­ний вид кристалла. Кристаллы есть одно из самых наглядных понятий физи­ки. Красота их формы не оставляет равнодушных тысячелетия. Её мате­матическое описание хорошо развито. Основа его в том, что (например на плоскости) правильными прямоугольниками, тре­угольниками, шести­уголь­никами можно плотно, грань к грани, за­по­л­нить её любой участок и строго периодически повторять узоры на любом расстоянии.

    Рис. 6.12.

     
    Однако плотная упаковка должна происходить в фазовом прост­ран­стве, так как элементарные составляющие при­ро­ды (как бы их не на­зы­вать) не­раз­рывно объединяют в себе поло­жение и движе­ние. Прямо (или кос­вен­ных фор­мах) принцип запрета Паули есть правило, кото­рое управляет такой упа­ков­кой. По­э­то­му изо­б­ра­­жать её надо хо­тя бы в ос­ред­нённом шести­мерном пространстве. Опять тот же вопрос – как это на­г­ляд­но изобразить? Он ста­новится да­же слож­нее. Ведь фор­ма крис­тал­лов в конечном счё­те задаётся прямо или косвенно плот­­ной упа­ков­кой в 6N-мерном пространстве, а крис­тал­лы наг­лядны в трёхмерном прост­ран­ст­ве. В чём дело?

    Се­чения в черчении используются для точного изображения на плос­кости формы трёхмерных объектов. Напомню с помощью рис. 6.12 способ их построения на при­ме­ре куба. “Разрезают пилой” объект так и там, как это интересно. “Ма­жут краской распил” и “отпечатывают” его на плос­ко­с­ти – листе бума­ги. Ес­тественно, что всё это можно выразить строгой ма­тематической проце­ду­рой или её графическим эк­ви­валентом. Например, даны в трёх­мерном пространстве плотно упакованные (один под другим, один рядом с дру­гим) такие же кубы, как на рис. 6.12. Рас­се­чём их плоскостью, проходящей через грань какого-то из кубов – по­лу­чим в сечении перио­ди­ческую систему плот­но уп­а­­­кованных прямо­уголь­ни­ков (плоский “кристалл”). Ина­че проведём плоскость – кар­тинку в сечении будут об­разовывать плотно упакован­ные ромбы.

    Рис. 6.13.

     
    Кажется очевидным, что в сечении всегда будет видна стро­го пе­ри­одическая картинка – “кристалл”. Од­нако уже в нашем веке выяс­ни­лось, что если сече­ние обра­зует угол с осями сим­­мет­рии куба, вы­ра­жа­е­мый ир­ра­цио­наль­ным чис­лом, то плот­ная упаковка ром­­­бов в се­че­­нии сох­­раня­ет­ся, но пе­ри­одич­но­сти нет. Та­кое се­чение плот­но упа­ко­­ван­ных кубов по­ка­за­но на рис. 6.13, на ко­тором ромбы затушёваны те­­­нями, что­­бы под­черкнуть воз­мож­ность вос­­принимать такую струк­­ту­ру как ана­лог крис­тал­ла. Но это не крис­талл, так как в сечении про­ст­­ран­ст­венная пе­­ри­о­дич­­ность исчезла! Такие струк­туры получили обще­при­ня­тое те­перь назва­ние – квазикристаллы.

    Подпись: Рис. 6.13.        Человек воспринимает своими орга­на­ми чувств при­­ро­ду в трёх­мер­ном гео­метри­ческом пространстве. Но законы природы от осо­бенно­с­тей органов чувств че­лове­ка не зависят. Для неё пер­вич­но 6N-мерное про­стран­ст­во. Его можно опи­сывать прибли­же­­нием шестимер­но­го про­ст­­ран­­ст­ва. “Нарисо­вать” объек­ты в таком про­стран­ст­ве – это значит пос­тро­ить то, что видно че­ло­ве­ку в сече­нии ше­стимер­но­­го прост­ран­ст­­ва с помо­щью трёх­­мер­­ного простран­ст­ва. В этом про­являются те же осо­бенности, что в рас­смот­­рен­ном при­мере се­че­­ния плоско­стью трёх­мерной пе­ри­оди­чес­кой крис­тал­ли­чес­кой решётки.

                Если угол се­че­ния вы­ражается рациональным чис­­­лом, то объект в трёх­мер­ном прост­ран­стве, получив­ший­­ся при сечении периодического объек­та в шести­мер­ном про­странст­ве, также будет пе­ри­одическим – обыч­­­ным крис­тал­лом. Если угол ирра­ци­о­нальное число, то объект в се­­че­­нии потеряет пе­ри­­­о­дич­ность – он будет на­блюдаем в виде квазикрис­тал­ла, ко­то­рый мож­но изо­бразить в фор­­ме трёх­мер­ного ри­сун­ка-аксоно­мет­рии. Он может быть “рас­кра­шен” по типу рис. 6.13, то есть в трёх­мерном прост­ран­ст­ве выглядеть сопоста­ви­мо с обыч­­­ными кристал­лами, но без харак­тер­ной для них пе­ри­о­дич­ности.

    На рис. 6.13 изображено сечение двумерной плос­костью строго пе­ри­одической упаковки четырёхмер­ных гиперкубов. Глазу кажется, что (как и в крис­тал­лах) за­ко­номерно повто­ря­ют­ся оди­нако­вые ком­би­на­ции сече­ний эле­­мен­тов, обра­зу­ю­щих эту упа­ков­ку. Но стро­гого повторения эле­­­­ментов “узо­ра” (как в крис­­тал­лах) – нет. Плот­ная упа­­ков­ка есть на лю­­бых рас­сто­яниях от за­дан­ной точ­ки (фи­зи­ки го­ворят – суще­ст­вует даль­ний по­ря­док), но он ли­шён простого нагляд­но­го выра­жения в се­че­нии. Этот рисунок од­но­­вре­мен­но и ана­лог кристалла, и не есть кристалл в обычном пони­ма­нии. Отсюда прис­тавка “ква­зи” в наз­ва­нии таких струк­тур – квази­кри­с­тал­­ли­чес­ких.

    Понятие квазипериодичности впервые появилось в математичес­ких работах в 1902 г. Математик Р. Пен­роуз в 1972 г. по­с­т­роил и запа­тен­товал головоломки, в которых плоская поверхность плот­но непе­ри­о­дически запол­няет­ся всего двумя типами фигур. Он за­ло­жил ос­но­вы мате­ма­ти­ческого описания квазикристаллов в его современ­ном ви­де. На рис. 6.13 воспроиз­ве­дена одна из его картинок. 

    Квазикристаллы совсем недавно, в 1984 г. были обна­ружены в ме­таллических сплавах эксперимен­таль­но. Обзор о квази­крис­таллах см. [125]. Их связь с задачами механики для колебательных про­цес­сов рас­смот­рена в [126]. В современной физике опи­са­ние ква­зи­крис­тал­лических структур стало новой быст­ро разви­вающейся областью.

    Элементарные наглядные сопоставления структур типа рис. 6.13, 6.14 с изображениями, видимыми в мик­ро­скоп (например, у растений), по­­ка­за­ли, что квазикри­стал­лические структуры образуют одну из самых ха­рак­тер­ных особенностей всех живых объектов. Но в этом слу­чае задача слож­нее, так как биообъекты заданы в шести­мерном пространстве (ещё раз на­поминаю о прин­ципе запрета Паули, который это иллюстрирует).

    Рис. 6.14.

     
     Химия и биохимия – это есть описание правил и результатов плот­ной упаковки атомов в шести­мерном пространстве. Вспомните, напри­мер, ключевые для хи­мии приб­лижённые правила модели атома Бора для заполнения элект­рон­ных ор­бит атомов или метод молекулярных орби­та­лей для более слож­ных рас­чётов. Результаты такой упаковки приводят (стро­го) к 6N-мер­ным симметриям и приближённо к шес­ти­мер­­ным. Это не случайно, так как понятие о симметрии в науке ос­но­вано на ма­те­ма­ти­ческом аппа­ра­те те­о­рии групп, а он воз­ник из задач механики при их опи­са­нии с помощью урав­нений Гамильтона. Подробно рассказывать об этом не буду, но напомню ключевое для этих задач слово – кано­ни­чес­кие пре­об­разования С. Ли и группы Ли (см. также [11], [12]).

    Реальность для биохимии шестимерных симмет­рий возвращает к вопросу, поставленному выше – как изобразить наг­ляд­но шестимерное пространство? Но те­перь ясен строгий ответ на него:  нужно пос­т­ро­ить трёх­мерные сече­ния шестимерного пространства. Они есть та реаль­ность, кото­рая может на­блюдаться человеком как отображение шести­мер­ных (или более строго 6N-мер­ных) конст­рукций при­роды. При этом периодическая структура – кристалл в ше­с­тимерном пространстве – в одних случаях принимает вид ква­зи­периодичес­кой струк­ту­ры (ква­зи­крис­талла, то есть плотной упа­ковки, ли­шён­ной пе­риодичности в трёх­мер­­ном пространстве), в других – в трёх­мерном се­чении перио­дич­ность будет сох­ра­няться, что выражают правильные фор­мы кристал­лов. Какой (наблюдаемый в трёх­мерном про­странстве) получится ре­зуль­­тат – крис­талл или квазикристалл – опять зависит от раци­о­наль­ности или ирра­ци­ональности угло­вой ори­ен­тации сечений. “Сечения” в этом слу­чае “стро­ит” сама природа. “Уг­лом по­­­с­т­ро­ения сечения” уп­рав­ляют особенности вза­имодействия между со­бой всех типов хими­ческих связей.

    Рис. 6.15.

     
    Например, углерод в живых объектах преимущественно участвует в образовании ква­зикристаллов. Одна­ко при характерных для него свя­зях воз­мож­ны наблюдаемые трёхмерные кри­с­­­тал­личес­кие структу­ры со сложными группа­ми симметрии. Такой при­мер изображён на рис. 6.15. Это фулле­ре­ны, об­ра­зо­ванные ато­ма­ми угле­ро­да. Вну­т­ри та­ких структур мо­гут на­хо­дить­ся ионы лю­бо­­го эле­мен­та таблицы Мен­­делее­ва. На рис. 6.15 это вы­де­лено сфе­ри­­чес­­ким об­ла­ком. В квази­крис­­тал­ли­­чес­ких струк­­ту­рах по­добное воз­мож­­­но, но совсем в других конк­ретных фор­­мах. Например ли­ганды, в кото­рых яд­ро боль­­шой и сложной био­мо­ле­кулы об­ра­зуют атомы не­ко­­торых из тяжёлых ме­тал­лов. Ещё при­мер та­ко­го выде­ленного поло­же­­ния да­ёт атом железа в гемоглобине. Од­на­ко фуллерены неспе­ци­фич­ны по от­ношению к центральному атому, а био­молекулы существенно изме­ня­­ют свои свойства в функции из­ме­не­ний, например, только валент­но­с­ти централь­ного атома. 

    Одна из, казалось бы, самых слабых химических связей – водо­род­ная связь – играет большую роль в плотной “упаковке” атомов. Напри­мер, форма кристаллов льда связана с её действием. Уникальностью сво­их свойств вода обязана именно ей. Свойства воды имеют важное зна­че­ние в биохимии жизни. Они рассмотрены в работах С.И. Аксёнова. Во­до­родная связь решающая для избирательности свя­зей нуклеотидов в РНК и ДНК – апериодических кристаллов по опре­де­лению Шрёдингера. Сокращение мышц управляет­ся водородной связью.  

    Наблюдаемый вид и свой­ст­ва твёр­­дых тел, в част­но­с­ти крис­тал­лов, определяет их зонная структура и строение гра­ницы Фер­ми (попу­ляр­ное объяс­нение этих терминов см., например [127]), а не непосредст­вен­­но связи, как они понимаются в химии. Этим правила плотной “упа­ков­ки” получают расширение. Описание симметрий обычных трёх­мер­ных кристалов есть само­сто­ятель­ная далеко продвинутая область науки. Для шестимерных сим­мет­рий и квазикристалов пока ещё такого в за­вер­шённом виде нет. Кстати, квази­крис­тал­лы в живых орга­низ­­мах не всегда иде­ально шести­мерно сим­­мет­рич­ные. Подобно тому, как воз­ни­кают раз­­­но­об­раз­ные дефекты в обыч­ных крис­таллах, они возможны и в ква­зи­крис­таллах. Иде­а­ль­ный кристалл, выросший в природе, ско­рее иск­лю­чение, чем пра­вило. Это же справедливо для шестимерных крис­­таллов.

    Важно подчеркнуть, что существуют такие сечения  6N-мерного пространства с помощью привычного для нас трёхмерного пространства, которые дают симметричные и периодические в нём структуры – крис­таллы. Одновременно существуют и такие трёхмерные сечения, в кото­рых наблю­да­е­мая симметрия и периодичность исчезает – квази­крис­тал­лы. Су­ще­ствование “ненаблюдаемой” периодичности имеет наблюдае­мые прояв­ле­ния, ключевые для живых систем. Поясню это примерами.





     
    polkaknig@narod.ru ICQ 474-849-132 © 2005-2009 Материалы этого сайта могут быть использованы только со ссылкой на данный сайт.