Уравнение Шредингера есть условие нормировки действия-энтропии-информации - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука - Философия на vuzlib.su
Тексты книг принадлежат их авторам и размещены для ознакомления Кол-во книг: 64

Разделы

Философия как наука
Философы и их философия
Сочинения и рассказы
Синергетика
Философия и социология
Философия права
Философия политики

  • Статьи

  • Уравнение Шредингера есть условие нормировки действия-энтропии-информации

    Если действие в механике есть мера информации, то должно суще­ст­­во­вать её выражение в форме (1.1) или (1.1а), то есть должна быть воз­мож­ность записать действие в механике в виде:

    S Kk ln                                             (3.27)

    где множитель Kk должен иметь размерность действия и быть адиа­ба­тическим инвариантом системы.  Если    есть вероятности, вы­раженные действительным числом, то (3.27) есть форма определения энтропии Гиб­бса (1.1а), которая отличается от (1.1) обратным знаком, так как вероятности меньше единицы, а числа состояний – больше еди­ни­цы.

    Предположу, что действие в урав­не­ниях Гамильтона-Якоби есть энтропия-информация, выраженная в форме (3.27). Тогда должно вы­пол­няться:

    определение действия-энтропии-информации (3.27) должно со­дер­жать условие нормировки энтропии типа  С  на рис. 1.2.

    опреде­ление действия-энтропии-информации (3.27) вместе с ус­ло­ви­я­ми норми­ров­ки должно формально-математически при­сут­­ствовать в аппа­ра­те механики и в опубликованных класси­чес­ких работах (что требует основная предпосылка этой рабо­ты, сформулированная во Введении).

                Это всё действительно выполняется.

                Запись действия в форме (3.27) в качестве переменной в уравнении Гамильтона-Якоби с постоянной Kk = h – постоянной Планка использо­ва­на Шрёдингером в его работе [16] и приводит к урав­нению Шрё­дин­гера относительно новой неизвестной функции .  Результат – уравнение Шрёдингера есть нор­ми­ровочное условие для дейст­вия как энтропии-информации, определённой  уравнениями Гамильтона-Якоби. Это эле­мен­­тарно следует из его осново­по­лагаю­щей работы [16].  Пояс­ню под­­роб­нее.

                Шрёдингер в своей работе рассматривает консервативные систе­мы, а потому берёт за основу уравнение Гамильтона-Якоби в форме (3.22), которое повторю сокращённо:

    ,                                       (3.28)

    где E есть полная энергия системы.

    Он использует формальную подстановку (3.27) в урав­нение в част­ных производных Гамильтона-Якоби (3.28) как средство для того, что­бы преобразовать его в такую форму, когда вместо неизвестной функ­ции  S  в него входит новая неизвестная функция  ,   которая имеет вид произ­ве­дения функций, зависящих только от одной координаты:

    ,                                      (3.29) 

    где из соображений размерности он принимает K h – постоянной План­ка. Функция   зависит только от координат конфигурационного прост­ранства   qj   и  не зависит от импульсов   pj,  то есть задана не в фа­зо­вом, а в конфигурационном пространстве. 

                Шрёдингер рассматривает конкретную одноэлектронную кепле­ро­ву задачу. С учетом подстановки (3.27) для неё энергия  H()  имеет вид:

    .                (3.30)

    где  V   есть потенциальная энергия.

                Шрёдингер ищет такую действительную во всём конфигурацион­ном пространстве однозначную ограниченную всюду и дважды диффе­рен­­циру­емую функцию ,  которая дает экстремальное значение интег­ра­­лу по всему конфигурационному пространству от квадратичной фор­мы (3.30).  В резуль­тате он получает своё известное уравнение, из кото­рого определяется прост­ран­ст­­вен­ное распределение   .

                Найти распределение  S,  которое отвечает максимуму энергии при заданной величине  ,  равносильно нахождению минимума  S  при за­дан­ной величине энергии (то есть максимума энтропии  S  при больц­ма­нов­ском выборе знака энтропии).  Это есть установление соответствия меж­ду заданным количеством энергии и её распределением, гаранти­ру­ю­щим экстремум энтропии. Именно в этом главное в больц­манов­с­кой процедуре нормировки энтропии при её определении в термодина­ми­ке. Именно поэтому уравнение Шрёдингера есть нормировочное ус­ло­вие для действия-энтропии-информации в классической механике.

                В "Добавлении при корректуре" к своей статье [16] Шрёдингер даёт более прямую связь принципа наименьшего действия и функ­ции  .  Он отмечает, что можно сделать подстановку (3.27) непосредст­венно в вариаци­онный принцип и решить вариационную задачу

                                                 (3.31)

    при дополнительном условии для функции  ,  которое задано тем, что функция      отображает вероятности:

    .                                            (3.32)

                Для H он использует конкретный вид (3.30), а элемент объема в конфигурационном пространстве d выражает с помощью способа, ис­поль­­зованного Гиббсом в его "Статистической механике" [15], когда в фа­зовом пространстве выделяется отдельно "скоростной объем" и "кон­фи­гурационный объем".

                Вводя множитель Лагранжа W, можно записать (3.31) в виде:

    

                Из решения этой вариационной задачи, опять-таки, получается урав­­не­ние Шрёдингера, позволяющее определить  W  и    для конк­рет­ных условий, которые задает вид функции  H(.  Но в этом случае ана­ло­гия с термодинамикой,  где подобная вариационная задача есть усло­вие нормировки энтро­пии, более наглядна.

                Таким образом предположение о том, что действие есть энтро­пия – мера ин­фор­ма­ции в классической механике, приводит к уже су­ще­­ствующим в науке фактам и методам, которые однозначно под­т­верж­дают такое оп­ределение, а уравне­ние Шрёдингера является нормиро­воч­ным услови­ем для энтропии-информации, вы­ра­женной в ви­де действия.

                По принципу существования нормировочные условия обратимы во времени, независимо от обратимости или не­­­об­ратимости процессов с участием действия, кото­рое они оп­­реде­ляют. По­э­то­му обратимость урав­­не­ния Шрёдингера не может быть аргументом при анализе вопроса об обратимости или необратимости при­роды.

                Подчеркну итог параграфов 2 и 3 этой главы.

                Как и для всех процессов природы, в механике определяющей фи­зи­ческой переменной является энтропия-информация. Конкретно её в ме­ханике выражает действие.

                Энтропия-информация определена всегда для конкретного k-го уров­ня иерархии синтеза информации (см., главу I). Это справедливо и тогда, когда она есть классическое механическое действие. На общепринятой границе между “волнами” и “частицами” существует два класса про­цес­сов синтеза информации.

    Один из них относится к области слева на рис. 3.1. Действие- энтропия-ин­фор­мация определе­но в виде (3.27), ана­ло­гичном классичес­ко­му для термо­ди­намики.

    Подпись: Рис. 3.1. Справа от точки синтеза инфор­мации возникли новые объекты. Они существуют на основе той инфор­ма­ции, которая привела к их син­те­зу. Она определяет их макроскопические свой­ства. Эти новые объекты и их ма­кро­скопические свойства описывает урав­нение в частных произ­вод­ных Га­миль­тона-Якоби (3.20), (3.22). В этом урав­нениии определя­ю­щее есть слу­чай­ности по отно­ше­нию к синте­зи­ро­ван­ной информации, ка­ковую отра­жа­ет факт сущест­во­ва­ния и свойства мо­де­ли материальных точек меха­ники. Материальные точки существуют на (k + 1) уровне иерар­хии энтропии-информации. Они есть объекты, свойства которых задали ре­аль­ные поля, существующие на микроско­пи­ческом,  k-том  уров­не иерархии действия-энтропии-информации.

                Существование уравнений Гамильтона-Якоби и уравнения Шрё­дин­­гера как их следствия есть доказательство того факта, что прин­­цип наи­меньшего действия задаёт классическую детер­мини­ро­ванную ме­ха­ни­ческую траекторию как геометрическое место точек максиму­ма энтропии, определенной в механике в виде дейст­вия-энтропии-информации (3.27) на предыдущем уровне иерер­хии. Ещё раз напомню, что минимум действия есть минимум энтропии при гиббсов­с­ком опре­де­­лении её знака и максимум энтропии для больц­ма­новского знака.

                Особенность уравнений Гамильтона-Якоби в том, что на  (k + 1) уров­­не иерархии принцип определения траектории, заданный на преды­ду­щем k-том уровне иерархии, сохраняет за “макроскопической” пере­мен­ной – действием способность отражать случайности на этом “макро­ско­пичес­ком” уровне:  уравнения Гамильтона-Якоби есть условия, огра­ни­чиваю­щие “макроскопические” случайности, заданные начальными условиями для объектов (k + 1)-го уровня иерархии – материальных точек классической механики.

                Пресловутые волны-частицы возникают потому, что неправомочно объединяются процессы на разных уровнях иерархии действия-энтро­пии-инфор­ма­ции – объединяются переменные принципиально разных за­дач. Уравнение Шрёдингера не есть уравнение движения как это обыч­­но (см., например, [52]) трактуется. Оно описыва­ет вероят­но­сти по­­тому, что является нормировочным условием для энтропии как харак­те­ри­с­ти­ки распределения вероятностей, действующих на пре­ды­ду­щем уров­не иерар­хии. Ведь именно так определена энтропия в термо­ди­на­ми­ке при использовании в ней молекулярно-кинетической теории газов и больцмановских ячеек в фазовом пространстве.

    В зависимости от конкретных постановок задач принцип наимень­шего действия может иметь разные формы в виде принципов не только Га­миль­тона, но и Лагранжа, Мо­пертюи, и другие, соответствие которых критериям синтеза информации рис. 1.4  рассмотрю отдельно.

    Принципы наименьшего действия по своему существу (как интег­раль­ные принципы) определяют процессы во времени не состоянием сис­­­­темы в данный момент времени, а её прошлым и буду­щим. Это ка­жет­ся противоречием примату причинности в при­­роде.

    Вопросы причинности в связи с принципом наименьшего дей­ст­вия возникли сразу. Мопертюи в подзаголовках своей работы о прин­ципе наи­­меньшего действия использует [53] утверждения типа: “Зако­ны, сог­ласно которым движение сохраняется, распределяется и уничто­жа­ет­ся, основаны на атрибутах Высшего Разума”. Строго говоря, убеди­тель­ного ответа на отмеченные выше вопросы о совместимости причинности и вариационных принципов механики нет и сегод­ня. Изложенное выше даёт строгий ответ на это противоречие. Поясню.

    В главе I было показано, что абстрактное математическое опреде­ле­­ние информации как запомненного случайного выбора сохраняет общ­ность с наглядными обиходными представлениями, в частности, о пред­ва­ри­тельном проекте. В простейшем пони­ма­нии информация связана с возмож­но­стью предсказать в опре­делённых границах будущее.

    Принципы наименьшего действия в механике, в частности, прин­цип Гамильтона утве­р­ж­дают, что для механических систем существует информация как физичес­кая переменная и её роль соответ­ству­ет общему интуитивному пониманию информации как таковой – информация су­ще­ствует для механических (то есть общефизи­чес­ких) процессов и, если для системы из многих элемен­тов она извест­на как физичес­кая переменная, то будущее системы предсказуемо в пре­де­лах конк­рет­ных границ. Имен­но это, а не примитивная трактовка тра­ек­торий для уравнений Га­миль­тона в частной модели обратимого времени, есть ут­верждение о детерминиз­ме природы.





     
    polkaknig@narod.ru ICQ 474-849-132 © 2005-2009 Материалы этого сайта могут быть использованы только со ссылкой на данный сайт.