Уравнение для информации о механической системе при случайных начальных условиях - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука - Философия на vuzlib.su
Тексты книг принадлежат их авторам и размещены для ознакомления Кол-во книг: 64

Разделы

Философия как наука
Философы и их философия
Сочинения и рассказы
Синергетика
Философия и социология
Философия права
Философия политики

  • Статьи

  • Уравнение для информации о механической системе при случайных начальных условиях

                Сформулированное выше определение действия (3.1) задано в фа­зо­вом Г-пространстве классической механики, при обратимом вре­мени и при возмож­но­сти описать элементы системы уравнениями Га­миль­тона без использо­ва­ния уравнения состояния (2.15) (см. параграф 1 главы II).

    Классически детерминизм объектов и процессов считается задан­ным именно уравнениями Гамильтона. Такой подход к детерминизму рас­­про­страняют на природу в целом. Поэтому в существующей термино­ло­гии и в существующем ма­те­матическом аппарате детер­ми­­ни­ро­ванное опи­сание природы опреде­ле­но только в условиях частной модели обра­ти­мого времени. Однако эм­пи­рически бесспорно, что время необратимо. В этом заключается первопри­чина основных недоумений и противо­ре­чий при переходе в современной науке от блестяще эффективного опи­сания конкретных задач к общей картине мира.

    Уравнения Гамильтона являются аксиоматическим определением взаимо­связи переменных механики. Они утверждают, что если H(qj, pj, t) есть фун­кция состояния системы – энергия, то для перемен­ных механики  qj и  pj определены изменения во вре­ме­ни . Но сами эти переменные, а также время, не определены.

    Кон­крет­но для вычисления траекторий элементов системы необ­хо­димо задать началь­ные условия.

                Отмеченными выше особенностями уравнений Гамильтона раз­ре­шён произвол начальных условий. Точность их задания всегда ко­неч­ная. Поэтому случайность, которую вводят начальные условия в уравне­ния Гамиль­тона, казалось бы, исключает де­тер­ми­низм природы. Кроме то­го, как было показано в главе II, в строгой постановке задачи каса­тель­ные преоб­ра­зо­ва­ния (как отображение зако­нов движения в ме­ханике) приводят к транс­фор­мации начальной точки траектории в на­чаль­ную об­ласть. С учетом уравнения состояния (2.15) эта область не может быть в пре­деле стянута в точку. Опять, но на более высо­ком уров­не подроб­но­стей, казалось бы, детерминизм при­ро­ды исключён.

                Однако есть бесспорный факт – окружающий нас мир и мы сами су­ще­ст­вуем. Это однозначно указывает, что уравнения механики для сис­­тем из многих элементов прин­ци­пиально, неустранимо (независимо от об­ра­­тимости или необрати­мо­сти вре­мени) описывают реальность тог­да и только тогда, когда существует преиму­щественное состояние меха­ни­чес­кой системы – запом­­нен­ный случайный выбор. Он есть по опре­де­лению информация о системе (см. главу I).

                Началь­ные усло­вия для механической системы задаются, в том чис­ле и произ­вольно. Поэтому невозможно непо­сред­­ственно из их ана­ли­за выявить закономерности реакции системы из многих элементов на случайные начальные условия. Однако начальные условия для системы обык­новен­ных дифференциальных уравнений, на­при­мер (2.3), определя­ют величи­ну постоян­ных интегрирования. Эти постоянные содержат в себе реак­цию кон­крет­ной сис­­темы, которую описывают дифференци­аль­ные урав­­не­ния. В них со­дер­­жатся закономер­но­сти ответа системы на случайные на­чаль­­ные условия.

                Одна из важнейших идей механики, которую с использованием ре­зуль­­­­­та­тов Гамильтона ввел в механику Якоби [13], – заменить анализ началь­ных условий анализом постоянных интегрирования. Тогда можно устано­вить закономерности, общие для самых разных, случай­ных начальных усло­вий. Если таких закономерностей не сущест­ву­ет, то да­же в рамках классической механики (несмотря на стро­гий детерми­низм в ней уравнений Гамиль­то­на) природа непредсказуема, что проти­во­речит всему известному о ней человеку.

    Предсказуе­мость, детерминизм природы есть утверждение о том, что в любой мо­мент времени систему можно “остановить”, а потом “за­пу­стить” её вновь на основе начальных условий, зафиксированных в мо­мент “остановки”, причём эта процедура (возможно с некоторым конеч­ным во времени пере­ход­ным периодом) не изменит результирующего сос­тояния системы. В классической механике должны присутствовать за­коны и выражающие их уравнения, которые гарантируют предсказуе­мость, детерминизм в таком смысле. Ключевым для них является функ­ция – действие, зависящая от прошлого системы и задающая информа­цию о будущем системы, то есть позволяющая в определённых границах предсказать это будущее.

    Наука отличается тем, что её запомненные потомками результаты не зависят от воли их творцов. Поэтому детерминизм в таком виде дейст­вительно присутствует в классической механике. Его отображают дифференциальные уравнения в частных производных Гамильтона-Яко­би, переменной в которых является действие – мера информации о сис­те­ме. Поясню это на основе работы Якоби [13] с учетом понятий, вве­ден­­ных в главах I,  II  и выше в этой главе.

                Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичная (2.3) и записи их в форме (2.26):

    dx1 /X1  dx2 /X2  ...dxn /Xn   dt /X,                    (3.4)

    где  n  2f 2Nf*  для N  материальных точек с  f*  степенями свободы у каждой.

                В ней  X1, X2, ..., Xn  произвольные функции  x1, x2, ..., xn,  а  X  есть произвольная величина. В частности, если это система урав­нений Гамиль­тона,   то   x1, x2, ..., xf     есть    q1, q2, ..., qf ,    а   xf+1,  ..., xn= 2f    есть    p1, p2, ..., pf   (см. (2.1), (2.2)).

                Система дифференциальных уравнений (3.4) интегрируется при помо­щи системы уравнений:

    x1   (t, 1, 2, ..., n),

    x2   (t, 1, 2, ..., n),

    ... ,                                  ( 3.5)

     xn  n (t, 1, 2, ..., n),     

    в которой   1, 2, ..., n   есть постоянные интегрирования. Для этого зна­че­ния   xj   из (3.5) под­­ставляются в  Xj  и определяются производные  dxj/dt  как функции  t   и произвольных постоянных   j.

                Число постоянных интегрирования по порядку величины не отли­чает­ся от количества чисел, которые нужно задать в качестве начальных условий. Например, для макроскопического объема газа число элементов   N  и соответственно число n уравнений (3.5) выражается обще­из­вест­ны­ми астрономически большими количест­вами. Но переход к анализу пос­тоянных интегрирования позволяет найти, не решая дифференци­аль­­­­ных уравнений (3.4) и не зная для них начальных условий однознач­ную функцию случайных начальных условий для уравне­ний Га­миль­то­на. 

                В механике уже около 150 лет известно: сущест­вует универсаль­ная функция, описывающаяе результаты участия неиз­вест­ных слу­чай­­ных начальных условий в детерминированных реше­ниях систем дифферен­циальных уравнений Гамильтона.  Для того, чтобы опреде­лить эту функцию, не надо решать систему уравнений Гамильтона и не надо знать для неё конкретных начальных условий.

                Доказывают это теоремы, сформулированные Якоби [13] около 150 лет назад. Поясню их предпосылки и дока­за­тель­­ства.

                Система с  f  степенями свободы может быть опи­сана, в частности, дифференциальными уравнениями типа (3.4). Энергия сис­­темы может явно зависеть от вре­мени  t  и может быть пред­став­лена в форме функ­ции Лагранжа   или функции Гамиль­то­на  H(qj, pj, t), которые взаимосвязаны между собой на основе (2.16). На систему для общности задачи могут быть наложены связи, описываемые  m  урав­не­ниями так, что число степеней свободы системы есть  f – m = l.

                Предполагается, что для системы в этих условиях остается спра­вед­ливым принцип Гамильтона, включающий в себя зависимость подин­тег­ральной функции от времени – для любого реального движения вы­пол­няется (3.2), а для консервативных систем выполняется (3.3).

                Хотя в классической механике нет уравнения состояния, но его необходимость не явно, но постоянно, подчеркивается в виде утвержде­ний о том, что переменные задач механики не являются неза­ви­си­мы­ми.

    Это проявляется при переходе к координатам  qj,  pj  в принципе Га­миль­тона, когда вместо производных  новые переменные  pj  нуж­но вво­дить до­пол­нительным соотношением:

    .                                         (3.6)

    Этот же факт отражает интег­ри­ро­вание по частям при определении вариаций (3.2), (3.3), которое приводит к членам, свободным от знака ин­тег­ра­ла, и новому подинтегральному выражению. Опять, как и везде в клас­си­чес­кой ме­ха­нике, в явном виде нет урав­не­ния состояния при оп­ре­де­ле­нии энер­гии, но необходи­мость в нём предусмотрена в опера­циях ма­те­ма­­ти­чес­кого аппарата и является для них определяющей.

    Кроме того, определение (3.1), в частности, в форме, когда началь­ная и конечная точка заданы временем  t0  и  t1,  вводит связь между им­пуль­сами и координатами в виде:

    ,                                              (3.7)

    что можно проверить, продифференцировав определение (3.1) по  qj,  ис­поль­зовав при этом (3.6).

    Опуская общеизвестные подробности, учитывая, что энергия в фор­ме функции Лагранжа и в форме функции Гамиль­тона взаимо­свя­за­ны на основе (2.16), после перехода к ко­ор­динатам  qj,  pj  из принципа Гамильтона можно получить уравнения Гамильтона (2.3):

                                          (2.3)

    причём они будут теми дифференциальными уравнениями, которые дол­ж­ны быть выпол­не­ны для того, чтобы стоящая под интегралом часть ва­ри­ации обращалась в нуль.

                Этим принцип Гамильтона вводит дополнительные обоснования исходных уравнений классической механики. Но его следствия намного шире.

                Пусть L есть функция 2l переменных и времени, а функция S определена (3.1).

    Тогда более подробно вариация (3.2) есть:

    .           (3.8)     

    Выполняется равенство:

    .        (3.9)

    Обозначим значения переменных для нижнего предела интегри­ро­ва­ния верхним индексом “ о ” . Тогда:

              (3.10)

    и вариация (3.8) примет вид:

    =.  (3.11)

    В этой вариации член справа под знаком интеграла обращает в нуль лагранжевы уравнения движения.  В членах свободных от знака ин­тег­рала с помощью (3.6) можно перейти к гамильтоновым пере­мен­ным. Тогда получится:

    =.                             (3.12)

                В данной постановке задачи пределы интегрирования заданы по времени. Условий на границах интегрирования  и  нет. Пе­­ре­­менные остались только заданными функциями от  t  и  2l  произ­воль­ных постоянных. Вариации  и  представляют только те изме­не­ния, которые заданы произвольными постоянными. Поэтому

    = ,                       (3.13)

    где последний член появляется в том случае, когда время не есть незави­симая переменная (случай чего конкретно пока не рассматривает­ся).

                Если время оставить не варьирован­ным и записать вариацию , то получится:

    .                           (3.14)

                Из сравнения с (3.7) видно, что

    .                                 (3.15)

                Согласно определению (3.1):

    .                                               (3.16)

    Так как время t содержится в SG явно, а также входит в него с участием , то должно выполняться:

    .                             (3.17)                                        

    С учётом (3.15) получится:

    .                                   (3.18)

    Откуда на основе (2.16) результат:

    .                                         (3.19)

    В силу (3.6) и (2.16) может быть произведен переход от функций  переменных   к равному числу функций от  . Поэто­му в уравнении (3.19) можно использовать H(qi,  pi, t). В частности, на основе (3.15) уравнение (3.19) можно записать в форме:

    .              (3.20)   

    Допустим, что найден полный интеграл этого уравнения. Тогда определены столько произвольных постоянных  i, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. Само действие  SG  в уравнение (3.20) не входит, поэтому из него оно может быть определено только с точностью до аддитивной постоянной. Тогда

    ,                 (3.21)

    то есть записано как функция произвольных постоянных.

    Уравнение (3.20) есть уравнение в частных производных Гамиль­то­на-Якоби, ко­то­рому удовлетворяет действие в форме  SG  как функция от времени t, координат qi  и постоянных интегрирования i, опреде­ляе­­мых, в частности, решением уравнений движе­ния (2.3). То есть дейст­вие в классической механике действительно есть функция случайностей.

    Так как действие удовлетворяет вариационному принципу (3.2), то оно определено как экстремум в функции от случайностей, а потому может быть одновременно мерой информации о системе – действием-энтропией-информацией, экстремум которого задаёт механическую тра­ек­­то­рию подобно критерию  1  на рис. 1.3.

    В случае консервативной системы интегрирование в принципе Гамильтона происходит при заданной энергии системы от точки (qi)0 до точки (qi)1. В этих точках вариации  и  равны нулю. Кроме того, функ­ция H не зависит от  t. Действие при таких предпосылках было обо­з­­начено SL и определяется другой формой уравнения (3.20) Гамильтона-Якоби, которая имеет вид:

    .                    (3.22)   

    Решение этого уравнения будет иметь форму:

    .                  (3.23)

    Введение вместо одной из постоянных интегрирования энергии воз­­можно потому, что в (3.22) не входит сама величина  SL . Поэтому одна из постоянных интегрирования является излишней и может быть заменена неопределённой аддитивной постоянной.

    Действие есть функция состояния системы, поэтому способом ин­тег­рирования (3.22) должен был бы быть метод разделения переменных. Но, как подчеркивалось в главе II и выше, уравнения состояния в ме­ха­ни­ке нет, а в таких условиях этот способ применим не всегда. Опять, как и везде в классической механике, нет явного упоминания об уравнении сос­тояния, но математический аппарат учитывает его необходи­мость. Это выражется использованием другого способа интегрирования уравне­ния Гамильтона-Якоби. Кроме того, второе соотношение в (3.15) исполь­зует конкретные за­­дан­ные значения  q0  в то время, как преимущества уравнений Га­миль­то­на-Якоби в том, что они позволяют исключить на­чаль­ные значения пе­ре­мен­ных. Решение этих задач дал ещё Якоби [13].

    В общем случае при дифференцировании действия по постоян­ным интегрирования получится два вида соотношений. Один для заданной при варьировании энергии, второй – при заданном времени.

    При задан­ной энергии:

    ,                                             (3.24)

    где   i = 2, 3, …, l, то есть использованы  .

                При заданном времени

    ,                                             (3.25)

    где  i = 1, 2, …, то есть использованы  .

                Оба случая оказываются объединены общим способом определе­ния  i , если положить  , то есть

    .                                               (3.26)

    Величины  i  есть новые постоянные интегрирования, а системы урав­нения (3.24) и (3.25) позволяют определить для случая (3.23) траек­торию, а для случая (3.21) и движение по траектории во времени.

    Доказательство этого дал сам Якоби [13], [21].

    Вариационные принципы (3.2) и (3.3) определены различно. В (3.3) рассматривается консервативная систе­ма при заданной энергии. Функ­ции Лагранжа в (3.2) и (3.3) зависят от времени, но эти зависимости раз­лич­ны. Что такое время в соотношении (3.26), основанном на пред­по­сыл­ках принципа (3.3)?  Такой вопрос ни в классической, ни в квантовой механике не задают, хотя он принципиален и должен существовать.

    Промежуточный итог этого параграфа в том, что действие в фор­ме  SG  и действие в форме  SL  с точностью до адди­­тив­­ной постоянной является функцией 1, 2, ..., l произвольных пос­тоянных, а потому функцией случайных начальных условий, учи­ты­ваю­щей закономерно­с­ти реакции системы на них.

                Если сравнить приведенные выше постановки задач Якоби и опре­де­ление инфор­ма­ции в главе I, то видно, что функции SG  и  SL  (две фор­мы дейст­вия) удовлет­во­ряют требованиям к функциям, описывающим меру ин­фор­мации – энтропию, когда их определяют на основе синтеза ин­форма­ции в виде запоминания слу­чайного выбо­ра.  Действительно:

                3.1. На основе (3.5) и (3.20) действие есть функция случайных  на­чаль­ных ус­ло­­вий (сравните  1  в главе I, параграф 5).

                3.2. Действие определено при условиях, ограничивающих слу­чай­но­сти, заданных наложенными на систему  m  ограничениями, и опреде­лен­ных дифференциальными уравнениями движения элементов сис­темы (сравните  2  в главе I, параграф 5).

                3.3. Запоминание, необходимое для синтеза информации – дейст­вия, конкретно отображает существование уравнения в частных про­из­водных Гамильтона-Якоби и его решения. По существу вывода урав­­не­ния Гамильтона-Якоби запоминание с его помощью задано как следст­вие экстре­маль­ного условия типа (1.4) в главе I.

                Надо отметить, что экстремум (1.4) соответствует макси­муму, а прин­цип Гамильтона (3.2), (3.3) – минимуму.  Однако при оп­ре­делении энтро­пии с помощью гиббсовских вероятностей состояний в виде (1.1а) этот минимум тождественен с больцмановским максимумом числа воз­мож­ных состояний системы в виде (1.1).

                В за­да­нии начальных условий случайность неизбежна, а потому сколь бы не были детер­ми­ни­рованы уравнения Гамильтона сами по себе они не могут гаран­ти­ровать одно­знач­ность результата при малых воз­му­щениях на­чаль­ных условий – уравнения Гамильтона не есть первопри­чи­на детерминизма механики. 

                Детерминизм механики задают уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби. Они утверждают, что в механике, несмотря на про­из­­во­­­ль­ность начальных условий,  существует функция – действие и урав­нения в частных производных, с помощью которых её можно определить без интегрирования системы уравнений Гамильтона и не зная началь­ных условия для неё. 

                Можно для элементов механической системы про­­из­­вольно задать начальные условия. Одна­ко эво­люция системы неустранимо приведёт к новым случай­ным на­чаль­ным условиям для её эле­ментов, удовлет­во­ря­ю­щим уравне­ниям Гамильто­на-Якоби. В этом за­клю­чается детер­ми­низм природы.





     
    polkaknig@narod.ru ICQ 474-849-132 © 2005-2009 Материалы этого сайта могут быть использованы только со ссылкой на данный сайт.