Уравнение состояния – составляющая уравнений Гамильтона - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука - Философия на vuzlib.su
Тексты книг принадлежат их авторам и размещены для ознакомления Кол-во книг: 64

Разделы

Философия как наука
Философы и их философия
Сочинения и рассказы
Синергетика
Философия и социология
Философия права
Философия политики

  • Статьи

  • Уравнение состояния – составляющая уравнений Гамильтона

                Понятие энергии, обладающей свойствами потенциала, в механике вводится на основе функции Гамильтона  H  и, свя­зан­ных с нею преоб­ра­зо­ваниями Лежандра, функций Лагранжа  L  или Рауса   R.

                Дан элемент системы, например, материальная точка классичес­кой механики. Её описывают координаты  xj. В конфигурационном прост­­ран­стве  xj  qj, в пространстве импульсов  xj  pj.  Индекс  j  опре­де­ляет­ся числом   f   степеней свободы системы, зависящим от числа   f*   сте­пе­ней  свободы элементов системы и их количества  N.  Он изме­няет­ся для   xj,   которые отвечают координатам   q,   в интервале

                                                  (2.1)

    а для   xj,   отвечающим координатам   p,   в интервале

    .                                        (2.2)

    Например, для материальных точек классической механики   f*  3  и при числе  элементов   N   величина   f  3N.

                В классической механике обобщенные координаты  qj  и импуль­сы  pj  есть независимые переменные. 

                Если существует функция состояния  H(qj, pj)  такая, что выпол­няет­ся связь между ней и независимыми координатами   qj   и   pj   вида:

                                          (2.3)

    то функция состояния  H(qj, pj)  есть полная энергия системы (её га­миль­то­ниан), а уравнения Гамильтона (2.3) описывают детерминиро­ван­ные траектории элементов системы.

                К сожалению основоположники современной механики У. Гамиль­тон и К. Якоби прожили мало – Якоби умер в возрасте 47 лет в 1851 г., Гамильтон чуть позже, в возрасте 60 лет в 1865 г. Немногие от­да­ют себе отчёт в том, что сам термин – энергия – В. Томсон ввёл в нау­ку всего около 1850 г. В классической механике в том виде, в котором она была соз­дана, термина энергия не было. Можно считать уравнения (2.3) аксио­ма­­ти­ческим определением понятия – энергия в механике [5], [6]. 

                Для системы дифференциальных уравнений обязательно должны выполняться усло­вия её совместности. В данном случае они содержатся в предпосылках теорем существования и единственности решений сис­тем обыкновенных дифферен­ци­аль­­ных уравнений. Конкретно уравнения Гамильтона совместны при сле­дующих предположениях:

                2.1.    Координаты в конфигурационном пространстве  qj,  коор­ди­на­ты в пространстве импульсов   pj  и  время  t  равноправны по отно­ше­нию к обоим направлениям осей координат.

                2.2.    Функции, входящие в (2.3), непрерывны и ограничены в лю­бой замкнутой области.

    Существуют вторые производные вида:

    ,     ,     .

    Они неп­рерывны и ограничены в любой замкнутой области. Диффе­рен­ци­рование в смешанных производных перестановочно по независи­мым переменным функции  .

                Уравнения Гамильтона (2.3) в условиях предположений  2.1 – 2.3  пря­мо или кос­венно составляют основу механики, а потому и всей сов­ре­менной науки. Энергия в механике определена, если система уравнений Гамильтона (2.3) совместна, то есть интегрируемая.

                Совместность системы уравнений Гамильтона и её интег­ри­руе­мость в механике понимается более узко, чем для систем обыкновенных диф­фе­рен­ци­аль­ных уравнений в математике. В механике для системы долж­ны суще­ствовать f  первых интегралов, то есть не только должны суще­ст­­во­вать кривые-траектории, являющиеся решением системы диф­фе­­рен­циаль­ных урав­­­нений, но еще функции – интегралы системы долж­ны сохра­нять­ся пос­­тоянными вдоль траекторий-решений. Такое пони­ма­ние ин­тег­рируемости есть следствие замкнутости рассматриваемых в ме­ха­нике систем и оно констатирует существование в замкнутых системах функ­ций состояния систем и законов их сохранения. Изменения функ­ций состояния системы описываются полными дифференциа­лами.

    Неявная основа определения энергии в механике есть ут­верж­дение об интегрируемости уравнений Гамильтона (2.3) в смысле существова­ния для них f  первых интегралов. Для систе­мы уравнений Га­миль­тона (2.3) сущест­во­ва­ние интеграла энергии само по себе не гаран­ти­рует ни строгости определения на их основе понятия – энергия, ни интегри­руе­мо­сти системы (2.3) в терминах механики.

                Понятие – энергия – вводится также в термодинамике. Фундамен­таль­ное отличие аксиоматической базы термодинамики от аксиом меха­ни­ки – в способе введения постулата о существовании энергии.

                В первичных истоках этой области науки явно формулируется клю­­чевой вопрос, которого нет в аксиоматической базе механики: почему изменения энергии есть полные дифференциалы? Этот вопрос ле­жит в осно­ве класси­ческой работы Р. Клаузиуса "Механическая теория тепла" [11], в которой сформирована аксиоматическая база термоди­на­ми­ки.

                Клаузиус рассматривает дифференциал работы  dA  как функцию (например, двух) независимых переменных   x, y :

    dA   X(x,y)dx + Y(x,y)dy                                   (2.4)

    и ищет условия интегрируемости (2.4). 

                В общем случае при независимых координатах  x, y  суще­ст­во­ва­ние функции состояния – энергии не гарантировано. Но можно найти такие условия связи между независимыми переменными, которые приведут к существованию энергии как функции состояния. Клаузиус рассматривает интегрируемость именно в смысле существования функ­ций состояния и их изменений в виде полных дифферен­циа­лов.

                Уравнения вида (2.4) известны как уравнения в полных дифферен­циа­лах. Для того, чтобы их левая часть являлась полным дифференциа­лом некоторой функции, которой в термодинамике, в частности, являет­ся энергия, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие, кото­рое для этих задач впервые сформулировал Л. Эйлер:

    .                                        (2.5)

                Клаузиус отмечает, что оно может как выполняться случайно (не кон­­­к­ретизируя причин), так и быть закономерным, если переменные в за­­да­че не есть независимые, а ограничены наложенным на них дополни­тель­ным условием связи.

    Результат Клаузиуса в терминах и обозначениях аналитической ме­­ха­ники означает,  что функция   H(qj, pj)   независимых  переменных  не обязательно есть функция состояния. Она станет функцией состоя­ния, если выполняются совместно условия связи между собой независи­мых переменных   qj   и   pj   типа

    f(qj, pj)  0.                                              (2.6)

                В термодинамике связи (2.6) назы­ваются уравнениями состояния системы. В частности, из (2.5) в термодинамике сле­дует, что функциями состояния могут быть только такие функции, например, X(x,y) и Y(x,y), для которых в силу конкретного вида условия (2.6) выполняется:

    Подпись: (2.7)           ,

              .

    Условия типа (2.7) извест­ны в тер­модинамике как соотношения Максвелла и широко применяют­ся во всех задачах, связанных с урав­не­ни­­я­ми состояния [31]. В частности, их выполнение – обя­затель­ная сос­тав­ля­­ющая опреде­ле­ния энер­гии.

    Энергия есть одно из наибо­лее фундаменталь­ных понятий науки.  Её определение должно быть од­но­родным в разных облас­тях на­у­ки. Поэ­то­му и в механике уравнения состояния, удовлетворяющие соотно­ше­ниям Максвелла, должны быть обязательной принадлежностью определе­ния энергии. Однако уравнения состояния в механике в явном виде не упоминаются, чего быть не должно и не может.

                Для системы уравнений Гамильтона (2.3) соотношения Максвелла мож­но получить её перекрестным дифференцированием по независимым ко­ор­ди­натам  qj и  pj. В строгой постановке задачи система уравнений Гамильтона (2.3) совместна, если для неё выполняется условие типа соотношений Макс­велла:

    ,                    (2.8)

    Условие (2.8) выполняется всегда, когда выполнены предполо­же­ния 2.1 – 2.3, в частности, когда возможна перестановочность диф­фе­рен­цирования по координатам  qj  и  pj,  а координаты  xj  и время  t  рав­но­правно не имеют преимущественного направления (время обратимо).

    Как подчеркивалось в главе I, методы термодинамики неустрани­мо связаны с законами сохранения и функциями состояния. О них эта наука как таковая. В термодинамике независимо от её методов заданы урав­нения состояния типа (2.6). Соотношения Максвелла (2.8) есть про­ве­­роч­ные условия того, что независимые уравнения состояния совме­стимы с существованием и методами функций состояния. Предполо­же­ние о перестановочности дифференцирования во вторых смешанных про­изводных входит в соотношения Максвелла как вспомогательная констатация использования методов функций состояния.

    Механика шире термодинамики. Сохранение энергии не может быть её абсолютной безоговорочной предпосылкой (см. главу I). Хотя зам­кнутые системы и в ней играют большую роль, но без приближения в виде локально замкнутых сис­тем она принципиально ограничена в своих возможностях по отноше­нию к реальным задачам. Кроме того, в меха­ни­ке отсутствуют независи­мые конкретные уравнения состояния.

    В классической механике конкретное условие, наложенное на вид функций состояния (которое проверяют соотношения Максвелла (2.7)), оказалось заменённым предпосылкой  a priori о перестановочности диф­ференцирования во вторых смешанных производных, которая выпол­ня­ет­ся универсально – вне всякой зависимости от вида рассматриваемых форм энергии и характерных для них функций состояния.

                Кроме того, оказывается, что конкретно обратимость вре­ме­ни в ме­ханике задаёт условие 2.3  пе­ре­становочности дифференци­ро­вания во вторых смешанных произ­вод­­ных (подробнее см. параграф 3 этой главы). Поэтому замена уравнения состояния предположением о переста­но­воч­но­сти дифференцирования 2.3 неустранимо вводит обратимость времени в уравнениях Га­миль­­тона (2.3). В результате обратимость вре­мени есть независимая аксиоматическая предпосылка при формулиров­ке уравнений Гамильтона (2.3), а не результат их решений.

    Однако хотя бы на интуитив­ном уровне бесспорно, что время  t  как фундаментальная переменная долж­но быть необратимым, а сущест­во­вание квантовых скачков требует осторожности при использовании пред­­положений о перестановочности дифференциро­ва­ния.

                Потому в механике существует энергия   H(qj, pj),   что коорди­на­ты   qj   и  pj   не являются независимыми:  должны существовать урав­нения свя­зи их между собой (уравнения состояния), удовлетворяющие усло­вию (2.7). Для примера уравнений Гамильтона это условие есть (2.8) в вырожденной форме, не зависящее от конкретных особенностей входя­щих в него функций.

                Если обратимости времени нет, то уравнения Гамильтона (2.3) в строгом понимании несовместны (не имеют 2f первых интегралов), так как при независимых коорди­на­тах qj и pj в общем случае, без допол­нительных предположений условие (2.8) может не выполняться  (пред­по­сылки  2.1 – 2.3  не являются бес­спор­ными  a  priori).

                Результатом этого являются противоречия как при решении конк­рет­­ных задач, так и при обобщениях наблюдений. Например, поведение механических систем, описываемых уравнениями Гамильтона с исполь­зо­ванием обратимого времени, считается классическим определением по­­ня­тия – детерминизм. Синоним понятия детерминизм есть опи­са­ние механической системы интегрируемыми уравнениями. Однако из­вестная теорема Пуанкаре утверждает, что невозможно в общем случае най­ти явные выражения для координат и скоростей как функций вре­ме­ни. Литература об этом весьма обширна, в частности, см. [20], [44], [45].

    Значительную часть механики составляет анализ конкретных усло­вий интег­рируемости её уравнений для систем, описывае­мых уравнения­ми Гамильтона (напри­мер, интегрируемость в смысле те­о­рии возмуще­ний Пуанкаре). Но это анализ не исходных аксиом, а сис­тем, описывае­мых с участием этих аксиом. Кроме того, в механике и в термодинамике во­просы, тождественные по своему существу, описы­ва­ют­ся разной тер­ми­но­ло­гией. В термодинамике преимущественно иссле­дуют функции сос­тояния системы. В механике – существование f пер­вых интегралов. Если к этому ещё добавить, что в математике интегри­руе­­мость систем дифференциальных уравнений – это только существо­ва­ние траектории, но не обязательно существование первых интегралов, и что всё это отно­сит­ся к “очевидным” предпосылкам, как правило, не упоминаемым явно, то ясно, что простор для путаницы остается.

                В частности, у Клаузиуса (как и в учебниках по математике) в той или иной форме присутствует упоминание о возможности “случайного вы­полнения” условия (2.5). Проиллюстрирую что означает такая “слу­чай­ность” для уравнений Гамильтона.

    В области действия предполо­же­ний  2.1 – 2.3  уравнения Гамиль­то­на (2.3) работают. Уравнение состоя­ния для них заменяет предпо­ло­жение о перестановочности дифференци­рования во вторых смешанных производных. Поэтому уравнение состояния должно в них учитываться не только в виде общих предпосылок, но и в какой-то кон­кретной форме.

                Сугубо иллюстративно это можно пояснить на основе (2.8) при условиях  2.1 – 2.3, откуда:

    ,                                          (2.9)

                                            (2.10)

    сохраняя только иллюстративность получим:

    .                                       (2.11)

                Можно считать (2.11) дифференциальным эквивалентом уравнения состоя­ния (2.6). Каких-либо конкретных указаний на возможную вели­чину кон­с­танты в правой части (2.11) эти поянения не дают, но, в част­но­с­ти, она может быть равна нулю.

                В цепочке (2.9) – (2.11) при использовании полных и частных про­из­­вод­ных опу­ще­ны пояснения, основанные на предположениях  2.1 – 2.3. Они существенны, но не в иллюстративном приближении и рассмот­рены в этой работе подробно далее. Ва­жно под­черк­нуть, что предпо­сыл­ка о перестановочности дифференци­рования во вторых смешанных про­из­водных приводит на основе самих урав­нений Гамиль­тона к неко­то­ро­му частному условию (2.11) связи меж­ду собой приращений переменных – к существованию сугубо мо­дель­­ного, частного уравне­ния состояния (2.11) при определении энер­гии в механике. Поэ­то­му “слу­чай­ное” вы­пол­нение (2.5) для уравнений в полных диффе­рен­циалах воз­мож­но за счёт постулата о перестановочно­сти дифференцирования, то есть о вы­пол­­нении, независимо от конкрет­ных особенностей задач, соотношений Максвелла для уравнений Га­миль­то­на.

    В общем случае уравнения состояния при определении энергии являются независи­мыми урав­нениями и не могут быть получены из уравнений Гамильтона.

                Если уравнение состояния не включено в систему (2.3), то урав­не­ния Гамильтона могут быть совместны (иметь f первых интегралов) толь­­ко в силу частных упрощающих предположений (что и было проил­лю­стрировано выше, когда эти предположения есть  2.1 – 2.3).

                В физике известно как самостоятельная аксиома условие, которое похоже на (2.11).  Это соотношение неопределённости Гейзенберга, в ко­то­ром правая часть есть ненулевая фундаментальная постоянная:

                                               (2.12) 

    или в полном виде

     ,                               (2.13)

    где  h – постоянная Планка. Почему в (2.12) и (2.13) в правой части стоит именно постоянная Планка известно только эмпирически.

                В физике символы  и  означают среднеквадратические от­­кло­­нения, то есть разброс величин qj  и  pj. Их квадраты – диспер­сия воз­­мож­ных значений qj и pj. Смысл соотношения неопределён­но­сти в фи­зи­ке трактуется как невозможность стянуть совместное распре­де­ле­ние ве­ро­ятностей для qj и pj в момент времени  в -функцию в точке  (qj,pj) – если уменьшить разброс значений  qj , увеличится разброс pj. В классической механике символов с таким смыслом не су­щест­ву­ет.

                Естественно выразить условия (2.12) и (2.13) в классических сим­во­­лах механики, учитывая роль (см. главу I) постоянной Планка как од­ного из частных видов адиабатических инвариантов [5], [6]:

                                               (2.14)

    или 

    ,                               (2.15)

    где  Kk  есть адиабатический инвариант данной задачи, а необязательно только постоянная Планка (частный вид адиабатического ин­варианта). В (2.14), (2.15) шрифт для символа “d” надо было бы дать другой, так как это конечные приращения, но здесь по техническим причинам это оказа­лось невозможным

                Можно ­по­ложить, что (2.15) есть строгая форма уравнения состоя­ния при опре­делении энергии в механике, так как условие (2.15): 

    заменяет требо­вание об априорной перестановочности диффе­рен­­ци­ро­ва­ния во вторых смешанных производных в (2.8);

    эквива­лент­но по роли в процессах природы (2.6);

    независимо от уравнений Гамильтона (2.3) (так как из (2.15) невоз­мож­но получить, например,  const h); 

    близко по форме и содержанию к одному из самых фундамен­таль­ных законов физики.

    Соотношение (2.15) утверждает существование случая конечного предела при совместном уменьшении классических для матема­ти­ки ма­лых приращений (может быть это даже следовало бы подчерк­нуть стрел­кой вместо равенства или другим символом для d). Уравнение состояния (2.15) не исполь­зу­ет­ся в клас­сической механике. Оно в форме (2.13) счи­тается от­личи­тельной особен­но­стью квантовых про­цессов внутри­­атом­ных мас­ш­та­бов.

    Выражение (2.14) имеет смысл элемента площади фазового прост­ранства. Поэтому при неортогональной системе координат оно включает в себя синус угла между q и p. В общем случае объём в фазовом прост­ранстве выражает якобиан преобразования, описывающего эволю­цию ме­­­­ха­­ни­ческой систе­мы. В строгом смысле, соотношение (2.14) имеет смысл кососимметрического произведения [20]. Но терминология сим­п­лек­­тической геометрии здесь не используется, так как в её основах аксио­матически существенно за­ло­жена [20], [44], [45] обратимость вре­ме­­ни и на­до делать слишком много оговорок.

    Соотношение неопределённости Гейзенберга в его классическом ви­де вводит вероятности в связь между собой импульсов и ко­ординат материальных точек. В отличие от этого неопределённость (2.15) вводит конечный сохраняющийся предел объёма в фазовом пространстве – не­оп­ределённы взаимно приращения координат и импульсов.

    В механике уравнения Гамильтона как аксиоматическое опреде­ле­ние энергии связывают между собой измене­ния переменных в том числе во времени. Отсюда дифференциальная форма уравнения состояния.

    Подчеркну, что постоянная Kk есть адиабатический инвариант задан­ной системы. Поэтому она всегда по порядку величины сопо­ста­ви­ма с остальными пе­ре­менными данной задачи. Для планетной системы она своя по вели­чи­не. Для атомных процессов она есть постоянная Планка. Для процессов в “элементарных частицах” она также имеет величину, от­личную от пос­то­ян­ной Планка (см. далее параграф 5 главы III). Поэто­му константа в правой части уравнения состояния всег­да по численному порядку величины сущест­вен­на в данной задаче.

                Следует также отметить, что в физике (в термодинамике) уравне­ния состоя­ния, необходимые для существования понятия об энергии, не­од­нозначны. Они зависят от выбора моделей – конкретных постановок задач. Например, модель с уравнением состояния идеального газа (см. также пояснения к аксиоме IV в главе I).

                Аналогично и в механике:  существование модели обратимого вре­ме­ни (2.11), для которой конкретные предположения 2.1 – 2.3 поз­воляют запи­сать уравнения Гамильтона без использования (2.15), не проти­во­ре­чит возможности и общности для аналитической механики моде­ли, в ко­то­рой адиабатическое уравнение состояния задано в форме (2.15).

                Одно из известных следствий соотношения неопределённости Гей­зен­берга, которое должно сохраняться и для его формы (2.15), состоит в том, что невозможно строгое равновесие математического маятника в нижней точке его траектории. Ведь строгое равновесие означает, что для груза маятника одновременно точно заданы координаты  qj  и импульсы  pj.  Но это противоречит конкретной форме уравнения состояния (2.15).

                Из этого примера виден фундаментальный смысл уравнения состо­я­ния (2.15) среди законов природы:  существование энергии есть след­ст­вие второго начала термодинамики (невозможности вечного рав­но­весия), то есть следствие необратимости процессов природы.

                Поэтому в основе классической механики в той форме её модели, ко­гда аксио­матически принимается первичной обратимость време­ни, со­дер­жит­ся фун­да­­ментальное парадоксальное противоречие:  обяза­тель­но должны существовать такие задачи и такие решения уравнений Гамиль­то­на, для кото­рых модель обратимого времени недостаточна, то есть их решения в рамках модели обратимого времени будут несовме­сти­мы с обя­­зательным для них стро­гим условием (2.15) интегрируемости уравне­ний Гамильтона (2.3) (сущест­во­вания энергии).

                Это реально и очень существенно проявляется в современной ме­ха­нике в виде сложности аппарата, основанного на теории возмущений Пуанкаре, и проблемы малых знаменателей, связанной с ней [20], [46].

                Кстати, Якоби (см. "Приложения" Л. Полака  в [12]) критиковал Га­мильтона за то, что тот не доказал совместности своих уравнений. В общем случае Гамильтон так и не смог это сделать. Для частного слу­чая задач в центральном поле у него доказательство совместности (2.3) есть.

                К сожалению, остается непонятым, казалось бы, очевидное.  Зада­чи в центральном поле связаны с вращением, в частности, с интегралом pj    const.  Как хорошо известно и описано во всех учебниках, такой ин­теграл существует в том случае, когда координата  qj  не входит в энер­гию сис­темы (энергия зависит только от  ).  Но именно это и есть стро­гая фор­ма утверждения о неопределённости координаты  qj  в таких задачах. Несомнен­но, что Гамильтон гораздо глубже понимал свои урав­нения, чем наши современ­ни­ки, для которых их совместность в об­щем случае кажется непогре­ши­­мой. 

                Конкретный вид сис­те­мы урав­не­ний Га­миль­тона (2.3), не содер­жа­щий уравнения состояния, есть частная модель. Поэто­му систе­ма (2.3), которая интегрируема (совместна) в тер­минах мате­ма­­ти­ки (оп­ре­де­ля­ет траекторию), может быть неинтег­ри­ру­емой (несовместной) в тер­ми­нах механики (не иметь 2f  первых ин­тег­ралов). В частности, су­щество­ва­ние для системы (2.3) интеграла энергии ещё не озна­чает, что она ин­тег­ри­ру­емая в терми­нах механики – будет иметь 2f  первых интегралов. При некорректном определении энер­гии интеграл энергии может су­щест­во­вать, но система оста­нет­ся неинтегрируемой в тер­­минах механики. 

                В механике, к сожалению, отсутствует строгое определение поня­тий об энергии и времени. Используются на интуитивном уровне ещё ньютоновские определения исходных понятий механики. Поэтому пос­та­­новка в механике задачи об обратимом и необра­ти­мом време­ни в строгом математическом виде единственно возможна в такой форме:   пусть энергия в механике определена на основе соотно­ше­ния неопре­де­лён­но­сти в терминах механики (2.15). Что из этого стро­го следует?  Какие след­ст­вия и возможности создает введе­ние в механику уравнения состояния (2.15) для уточнения аксиоматического опре­деле­ния понятия – время?

    Аксиомы не могут быть доказаны. Поэтому последовательно бу­ду проверять справедливость введенных в этой работе изменений аксио­ма­ти­ки механики. В частности, вклад в задачи механики введенных с по­мо­щью (2.15) изменений аксиоматики при определении энергии и но­вые возможности, которые они создают. 

                Первый из возникающих при этом вопросов – противоречие между необходимостью использовать в классической механике соотношение неопределённости (как условие существования энергии) в форме (2.15) и неопределённостью в этом случае классических механи­чес­ких траек­то­рий.

    Сначала покажу, что сосуществование соотношения неопределён­но­сти в форме (2.15) с ролью и резуль­татами классической механики (са­мой фундаменталь­ной области науки) возможно потому, что есть классы задач, в кото­рых при условиях 2.1 – 2.3 известные строгие классические ре­шения не зависят от конкретного вида (2.15) уравнения состояния при определении энергии. Также покажу, что это вытекает из основ стро­го­го математического аппарата классической ме­ха­ники.  Рассмотрю это под­­­робнее.





     
    polkaknig@narod.ru ICQ 474-849-132 © 2005-2009 Материалы этого сайта могут быть использованы только со ссылкой на данный сайт.