Нормировка энтропии и связь между энергией и информацией в системах из многих элементов - Введение меры информации в аксиоматическую базу механики - А.М. Хазен - Философия как наука - Философия на vuzlib.su
Тексты книг принадлежат их авторам и размещены для ознакомления Кол-во книг: 64

Разделы

Философия как наука
Философы и их философия
Сочинения и рассказы
Синергетика
Философия и социология
Философия права
Философия политики

  • Статьи

  • Нормировка энтропии и связь между энергией и информацией в системах из многих элементов

    Пусть дана система из  N  элементов, заключенных в объём  V,  име­ю­щая полную энергию  U,  и её фазовое пространство с числом измерений  2f,  где  f – есть число степеней сво­боды элемента сис­темы. Этим задано, что система рассматривается в  -пространстве (в термино­ло­гии Эренфеста).

    В современном развитии больцмановского формализ­ма термоди­на­ми­ки принимается, что в  -пространстве можно задать ячей­ку объё­мом    и установить для её измерения минимальную дис­­кретную еди­­ницу

    ,                                            (1.18)

    где  h – постоянная Планка с размерностью действия.

                С учетом введеной в предыдущих параграфах иерархичности энтро­пии-информации ясно, что минимальная единица объёма в фазовом пространстве должна иметь универсальное выражение:

     ,                                         (1.19)

    где  – адиабатические инварианты, имеющие размерность дейст­вия, и соот­вет­ст­вующие разным уровням иерархии энтропии-информации,.

    Разобъём фазовое пространство на  M  ячеек. Их коли­чест­­во  M  конечно, но может быть очень большим числом. При применении метода ячеек у Больцмана объём ячейки задан произволь­но, но это ячейки имен­но в фазовом пространстве с размерностью элемента его площади [энергия   время], то есть, с размерностью действия в том виде, как оно оп­­ределено в механике.

    Каждому микросостоянию системы отвечают свои значения ко­ор­динат  qi  и импульсов  pi  составляющих его различимых (до­пу­с­ка­ю­­щих нумерацию) элементов. Их мож­но отобразить в форме чи­сел за­пол­­не­ния ячеек фа­зо­вого пространства  элементами сис­темы, имеющими интервал взаимосвязанных значений координат и импульсов, от­ве­чающий данной ячейки. Применяя методы комбинаторики к этим чис­лам, можно искать соответствие макроскопи­чес­ких пере­мен­ны­х, опи­сы­­ваю­щих систему из многих элементов (например, газ), и микросостоя­ни­ями, описываемыми распределения­ми элементов систе­мы.

    Числа заполнения ячеек фазового пространства долж­ны удов­лет­во­рять очевидному нор­ми­ровочному условию:

    ,                                              (1.20)

    где  N – общее число элементов системы.

    Значению действия для  i-той ячейки в фазовом прост­ран­стве дол­жна отвечать величина энергии    и должно выпол­няться нормировоч­ное условие:

    ,                                             (1.21)

    где  U – полная энергия системы.

    Неизменному состоянию системы отвечают разные распределе­ния нумеруемых элементов системы по ячейкам фазового прост­ран­ст­ва. Одному и тому же микросостоянию газа отвечает число    раз­ных распределений из  N  молекул по  M  ячейкам, которое обще­из­вест­ным способом с использованием формулы Стирлинга может быть вы­ра­жено формулой:

    .                           (1.22)

    В частном случае системы в виде газа и  – постоян­ной Больцмана это выражение станет больцмановским определением энт­ро­­пии  S  единицы объёма газа, если определить то распределение чи­сел    по ячейкам, которое обеспечивает максимум  энтропии  S  при за­данных в задаче условиях.

    Эта процедура называется нормировкой энтропии и состоит из решения вариационной задачи на отыскание максимума  при усло­ви­ях, заданных (1.20) и (1.21). Общий метод решения таких задач основан на использовании неопределённых множителей Лагранжа. Он сос­то­ит в том, что для иссле­дуемой на экстремум функции   при ус­ло­­виях на неё , где , образуется новая функция:

    ,                                       (1.23)

    которая исследуется на безусловный экстремум. В ней   есть неко­то­рые постоянные множители, которые относятся к системе в целом. Они могут выражаться размерными единицами. 

    В классическом больцмановском случае  l = 2  (условий два – (1.20), (1.21)). Обозначают:  .  Тогда условие экстремума для уравне­ния (1.22) есть:

    .                            (1.24)      

    Теперь числа    независимы, поэтому из предыдущего уравне­ния следует, что

    ,                                      (1.25)

    .                                     (1.26)

    Если использовать (1.25) в (1.22) и условия нормировки (1.20) и (1.21), то следует:

                   (1.27)  

    или

    .                             (1.28)   

    Множитель    относится к системе в целом, поэтому он находит­ся не под знаком суммы.

                В описанной выше классической постановке задачи о нормировке энтропии числа    безразмерны. В строгом виде это не так. Числа    не могут быть определены, если не задан объём ячейки фазового прост­ран­ства. Поэтому в строгом виде числа    имеют размерность . Формально, на вид условий (1.20) и (1.21) это не влияет, так как раз­мер­ности правых и левых частей в них одинаковы и могут быть сок­ра­ще­ны, что всегда и делается без дополнительных напоминаний. В случае условия (1.20) действительно что-либо оговаривать нет необходимости. Но в усло­вие (1.21) в правой части входит макроскопическая полная энер­­гия. Она имеет смысл и в том случае, когда отнесена ко всему объё­му фазо­во­го пространства, а энергия ячейки отнесена к единице объёма для  . При этом числа   становятся  безразмерными без сокращения еди­ницы объёма как множителя правой и левой части в (1.21).

    Условие (1.21) было записано для размерной величины – энергии. Соотношение (1.27) безразмерно. Это возможно в двух случаях:

    если в (1.21) в правой и левой части размерный множитель  сокращён и размерность   есть обратная энергия;

    если в (1.21) в правой и левой части размерный множитель  сохранен и размерность    есть обратное время.

    Кроме того здесь необходимо подчернуть ещё раз то, что неодно­крат­но под­черкнуто в этой работе и присутствует во всех классических ори­ги­наль­ных работах об энтропии и во всех клас­си­­ческих учебниках:  мак­си­маль­ное значение – – очень велико по сравнению с состоя­ни­ями, кото­рые отвечают ничтожно изменённым (по отношению к тем, ко­то­рые со­от­ветствуют экстремуму) зна­чениям  . Несмотря на бес­спор­­ность и обще­известность этого, высочайший детерминизм состоя­ния    ос­таётся, к сожалению, непонятым очень многими.

    Если число  N  элементов системы постоянно, а её энергия  U  – изменяется, то изменение энтропии с учетом (1.27) есть:

    .                            (1.29)

    На этой основе условие постоянства числа элементов системы соз­­даёт ограничения величин  иимеющее  вид:

    .                          (1.30)

    Величина

                                               (1.31) 

    известна как статистическая сумма для данной задачи.

    Множитель Лагранжа  с помощью (1.30), (1.31) выражается как:

    .                                          (1.32)

    С учетом (1.32), уравнение (1.28) принимает вид:

    .                    (1.33)

    Величина энергии есть

    ,                       (1.34)

    а числа заполнения ячеек равны

    .                      (1.35)   

    Множитель Лагранжа  строго определяется из задачи на услов­ный экстремум, но его физический смысл как обратной температуры ус­та­­нав­ли­вает­­ся феноменологически – путём сопоставления с изохоричес­ким про­цессом для идеального газа.

    Для этого используется предположение о постоян­ст­ве объёма сис­темы, входящее в постановку задачи о норми­ров­ке энтропии. Тогда лога­рифмическая производная от обоих частей (1.30) даст:

    .               (1.36) 

    Использование этого в (1.29) приводит к выражению:

    .                                          (1.37)

    Общеизвестный результат применения второго начала термоди­на­мики к изохорическому процессу есть соотношение:

    .                                      (1.38)

    Из сопоставления (1.37) и (1.38) следует, что множитель Лагран­жа  с помощью температуры системы  мо­жет быть записан в виде:

    .                                           (1.39)

    В такой записи температура  выражается в градусах Кель­вина, хо­­тя при желании постоянная Больцмана может быть включе­на в темпе­ра­туру так, что она получит размерность и единицу энергии: 

     .                                    (1.39а)

    Нормировка энтропии устанавливает связь энергии системы U и величины энтропии S, отвечающей наиболее вероятному распреде­ле­нию, которое характеризует величина  . При этом, наряду с энт­ро­­пией  S,  описываемой логарифмической функцией,  появляется ещё од­на ха­рак­теристика распределения – статистическая сумма  и её логарифм.

    Из изложенного ясно, что связь энтропии  S  и статистической суммы    устанавливает формула:

                                        (1.40)

    или

    .                                     (1.41)

    Назову семантической информацией переменную

                                              (1.42)

    и, в частности, для тепловых процессов, то есть при ,  перемен­ную

                                               (1.43)

    и покажу далее те её свойства, которые оп­­равдывают такое название.

                С учетом введенного выше по­нятия о семантической информации, больцмановская нормировка энтропии устанавлива­ет связь энтро­пии-инфор­­ма­ции, семантической информации и энергии.

                Энергия как термодинамический потенциал может иметь разные формы, взаимосвязанные преобразованиями Лежандра, а также завися­щие от того, какие конкретно исходные формы энергии (механическая, электромагнитная, химическая) рассматриваются совместно с той фор­мой энергии, которая зависит от количеств информации (энтропии) сис­темы. В частности, для случая количеств информации и только механи­чес­кой энергии как составляющих в законе сохранения энер­гии выде­лен­ную роль в описании процессов природы имеет тер­мо­ди­нами­чес­кий по­тен­циал – свободная энергия Гельмгольца:

                                                (1.44)

                Продолжая пример изохорического процесса на основе (1.38) и (1.40), опуская промежуточные выкладки, можно проиллюстрировать фундаментальный смысл свободной энергии в терминах информации:  статистическая сумма  связана с величиной  F  свободной энергии системы соотношением:

    .                             (1.45) 

    Соответственно связь (1.41) приобретает вид:

    .                                      (1.46)

    Соотноше­ния (1.45) и (1.46) универсальны, в частности, в них в общем виде присутствует адиабатический инвариант Kk данного уровня иерархии энтропии-информации, а не обязательно постоянная  – Больц­­мана.

    В общем виде в (1.45) необходимо учитывать существование раз­ных форм энергии, которые характеризуют обобщённые координаты  и обобщённые силы  (как их называют в термодинамике – экс­тен­сивные и интенсивные переменные). Например, для электрической энергии  (индукции и напряженности электрического поля со­от­­вет­ственно). Для магнитной энергии  (нап­ря­­жен­ности и индукции магнитного поля). Химическая энергия зависит от количест­вен­ных    и силовых переменных    в виде кон­цент­раций  и  хи­ми­ческих потенциалов   конкретно для каждой  i-той реакции и име­ет вид .

    Изменения свободной энергии будут различны в зависимости от того, какие из переменных  и  выбраны в качестве независимых. Изменения свободной энергии в форме Гельмгольца характеризует выбор в качестве независимых переменных обобщённых координат (экстенсивных переменных):

    .                         (1.47)

    Изменения свободной энергии могут быть записаны в форме Гиббса, когда независимые переменные – интенсивные.

    ,                        (1.48) 

    а также в формах, когда переменные  и  используются в качестве независимых в смешанном виде.

                В каждой паре интенсивная – экстенсивная переменная одна из них может быть выбрана как независимая, а вторая как сопряженная. Переход от экстенсивной к интенсивной переменной в качестве незави­си­мой, и наоборот, связан с изменением знака.

                Термин – свободная энергия – введен Гельмгольцем потому, что он описывает ту часть внутренней энергии системы, которая может быть полностью превращена во внешнюю работу в процессе с одинаковыми начальной и конечной температурами. Поэтому для введенного здесь оп­ре­деления семантической информации из (1.45) следует, что понятие се­мантической информации определяет ту часть микрораспределения сос­то­я­ний элементов системы, от которого зависят возможности соверше­ния внеш­ней работы системой или над системой.

    Под­ве­денное к системе тепло может быть с помощью интегрирую­ще­го мно­жителя – тем­пера­ту­­ры приведено к форме функции состоя­ния – энергии S, зависящей от температуры и количеств инфор­мации (распределений). Работа системы или над системой связана с рас­пре­де­ле­нием в виде статистической суммы как запомненного случайного вы­бо­ра, то есть с информацией.  Слово – семантическая подчеркивает для этой информации возможность прямого преобразования в работу.

    Именно поэтому появление среди критериев синтеза информации рис. 1.3 таких, которые зависят от свободной энергии, закономер­но:  каж­дому из двух взаимо­связанных видов распределений соответствуют свои предельные случаи синтеза информации.

    В вышеприведенных ил­лю­страциях нормировки энтропии исполь­зо­ваны не интегралы, а суммы, так как больцмановские ячейки исходно дискретны. В адиабатических системах и процессах, несмотря на это, изменения энергии происходят строго непрерыв­но. Поэтому для них за­ме­на суммирования на инте­гри­рование (с соот­вет­ст­вую­щими осредне­ни­ями) требует только обыч­ной математической коррект­но­сти. В не­адиа­ба­тических системах этого недостаточно. Нужно более стро­го опре­делить, что такое больцмановская ячейка в шести­мерном  -прост­ран­стве и в  6N-мерном  Г- пространстве.





     
    polkaknig@narod.ru ICQ 474-849-132 © 2005-2009 Материалы этого сайта могут быть использованы только со ссылкой на данный сайт.