2.2. Неоднородная среда обитания. Высокая подвижность популяции - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика - Философия на vuzlib.su
Тексты книг принадлежат их авторам и размещены для ознакомления Кол-во книг: 64

Разделы

Философия как наука
Философы и их философия
Сочинения и рассказы
Синергетика
Философия и социология
Философия права
Философия политики

  • Статьи

  • 2.2. Неоднородная среда обитания. Высокая подвижность популяции

    В ряде случаев существенна миграция популяции, неоднородность ее среды обитания. При этом возникает более сложная модель. Динамика изменения численности N(x,t) популяции в этом случае описывается краевой задачей

    .       (12)

    Здесь x = (x1,x2) принадлежит некоторой области  с достаточно гладкой границей , N(t‑h) = N(t‑h,x), D > 0 – коэффициент подвижности,  – оператор Лапласа,  – направление нормали к , a = a(x) характеризует сопротивление (емкость) среды. Мальтузианский коэффициент r и средний возраст производителей h тоже следует считать функциями от x (все функции предполагаются достаточно гладкими). Отметим, что эта краевая задача имеет единственное положительное стационарное решение. Обозначим его через K(x,D).

    Рассмотрим сначала случай, когда популяция обладает большой подвижностью, т.е.

    . (13)

    Поведение стационарных режимов (12) при условии (13) определяется обобщенным уравнением Хатчинсона

    .      (14)

    Это уравнение получается путем усреднения в формуле (12) по пространственной переменной. Экспоненциальная устойчивость периодического решения (14) влечет за собой существование при больших D близкого к нему периодического решения (12) той же устойчивости. Тем самым большая подвижность приводит к выравниванию численности во всех точках ареала обитания.

    Чтобы ярче выделить влияние неоднородностей, рассмотрим критический случай, когда решение теряет устойчивость . Пусть характеристический квазиполином линеаризованного в положительном состоянии равновесия n0

    (14) имеет пару чисто мнимых корней ±i0 (0 > 0), а все остальные его корни лежат строго слева от мнимой оси.

    Оказывается, при D ® ∞ в зависимости от выбора коэффициентов (12) могут иметь место все эффекты, возникающие в теории бифуркаций в критическом случае пары чисто мнимых корней. Опишем здесь для примера два случая, представляющие наибольший интерес с биологической точки зрения. В каждом из них будем предполагать, что h(x) º const. Тогда ограничения на коэффициенты (14) заключаются в том, что: 2r0h = . Отметим, что при этом условии состояние равновесия n0 асимптотически (но не экспоненциально) устойчиво. Окрестность K(x,D) в соответствующем фазовом пространстве краевой задачи (12) может быть устроена более сложно.

    Первый случай. Предположим, что функция r от x не зависит, но a(x) не постоянна. Тогда все решения из некоторой (не зависящей от D) окрестности K(x,D) экспоненциально стремятся при t ® ∞ к этому стационару. Таким образом, неоднородность среды обитания выступает как стабилизирующий фактор.

    Второй случай. Пусть теперь функция r(x) не постоянна, в то время как произведение функций r и a достаточно близко к постоянной величине. С биологической точки зрения это ограничение естественно. Оно означает, что плодовитость больше там, где лучше условия обитания.

    В этих предположениях при уменьшении коэффициента подвижности от значения D = ∞ из состояния равновесия K(x,D) ответвляется экспоненциально орбитально устойчивое периодическое решение (с частотой, близкой к 0). Оно отличается от K(x,D) на величину порядка D‑1/2. Отметим, что уравнение (12) с нулевой подвижностью D = 0 имеет в этом случае интенсивные колебания при некоторых значениях x. Таким образом, можно сформулировать следующий вывод: в рассматриваемой ситуации большая подвижность приводит к стабилизации численности популяции.





     
    polkaknig@narod.ru ICQ 474-849-132 © 2005-2009 Материалы этого сайта могут быть использованы только со ссылкой на данный сайт.