1.2. Нелинейное уравнение Шредингера и его автомодельные решения - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика - Философия на vuzlib.su
Тексты книг принадлежат их авторам и размещены для ознакомления Кол-во книг: 64

Разделы

Философия как наука
Философы и их философия
Сочинения и рассказы
Синергетика
Философия и социология
Философия права
Философия политики

  • Статьи

  • 1.2. Нелинейное уравнение Шредингера и его автомодельные решения

    Мы уже говорили, что динамика пиков в уравнении (2) тесно связана с автомодельными решениями НУШ. Для этого удобно записать (2) в переменных амплитуда–фаза: w(x,t) = (x,t)ei(x,t), для которых получаем

    Полагая  = 0, получим соответствующее представление для НУШ. Для анализа пика с центром в точке x0 удобнее перейти к автомодельным переменным

    где L(t) – ширина пика, а также к медленному времени , d = dt/L2(t). В новых переменных

    где = dL/dt. При  = 0 эта система допускает точное автомодельное решение, для которого R(,) º R0(), и справедливо следующее уравнение

    .

    Для фазы получаем соотношение 0(,) = b() + c() – 0,25a()2. Для b, c, a и L нетрудно получить следующие уравнения

    ,

    где ,  и  – константы. Из последнего уравнения следует, что d(L2)/dt = ‑2a, а так как высота пика » L‑1/2, то именно a управляет ростом пика.

    Из двух последних уравнений следует, что , откуда

    .

    Таким образом, получаем, что в НУШ возможны два закона роста пика при приближении момента обострения tf

    .

    В случае  =  = 0 уравнение для R0() можно решить аналитически:

    .

    Обычно решение нормируют так, чтобы R0(0) = 1, что соответствует  = 1/3.

    Как указывалось в работе решения при  = 0 неустойчивы и в численном счете не реализуются; решения же, отвечающие  < 0, устойчивы и в численном счете действительно был получен похожий закон роста. Заметим, что нелинейное уравнение Шредингера (3) допускает обращение времени t ® ‑t, w ® w*, и наряду с растущими пиками должны существовать и затухающие. При обращении времени неустойчивые решения могут стать устойчивыми, поэтому можно ожидать, что решения для  = 0 будут описывать стадию распада пика. Численный счет показывает, что данное решение действительно является хорошей асимптотикой для стадии начала распада пика (рис. 2).





     
    polkaknig@narod.ru ICQ 474-849-132 © 2005-2009 Материалы этого сайта могут быть использованы только со ссылкой на данный сайт.