§5. Методы исследования эффективной локализации неограниченных решений - Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен - Синергетика - Философия на vuzlib.su
Тексты книг принадлежат их авторам и размещены для ознакомления Кол-во книг: 64

Разделы

Философия как наука
Философы и их философия
Сочинения и рассказы
Синергетика
Философия и социология
Философия права
Философия политики

  • Статьи

  • §5. Методы исследования эффективной локализации неограниченных решений

    В §1 на примере автомодельных решений уравнения (7) было показано, что существуют решения, обостряющиеся лишь в одной точке пространства, это так называемый LS‑режим. При этом можно построить профиль решения вблизи момента обострения и оценить характер возникающей сингулярности. Возникает вопрос: можно ли для произвольных решений, например, уравнения (7), также определить существование LS‑режима и дать "точную" оценку профиля решения в окрестности пространственной точки обострения вблизи момента времени обострения? Математические подходы для анализа этого вопроса в достаточной степени развиты и успешно применялись при решения различных квазилинейных параболических задач Чтобы дать ответ о существовании LS‑режима, достаточно подходящей оценки сверху профиля неограниченного решения. Оценки профиля снизу играют другую важную роль – они позволяют оценить "энергию", которая выделяется в среде к моменту обострения. Если говорить на языке теории риска, то оценки профиля решения дают представления об ущербе, нанесенном катастрофой.

    Оценки снизу профиля неограниченных решений строятся на основе метода стационарных состояний. Суть его состоит в сравнении произвольных решений задачи и стационарных решений той же задачи. Техника сравнения основана на анализе эволюции числа точек пересечения этих решений. Если в задаче (26) предположить, что x = 0 – точка обострения, то справедливо

    Утверждение 13. Пусть решение задачи (26) при  > +1 неограниченное, T > 0 – время обострения решения. Тогда для всех достаточно малых |x| > 0 справедлива оценка

    ,

    где C1(,) > 0 – некоторая постоянная.

    Из последнего неравенства легко получить интегральные оценки решения в окрестности "места катастрофы", т.е. оценку "ущерба от катастрофы".

    Оценка сверху может быть получена, например, на основе недавно развитого подхода . Его основная идея состоит в поиске условий знакопостоянства некоторой комбинации решения задачи и его производной. Для задачи (26) такая комбинация имеет следующий вид: uux‑xu £ 0. Предполагая, что x = 0 – точка обострения, сформулируем

    Утверждение 14 Пусть решение задачи (26) при  > +1 неограниченное, T > 0 – время обострения решения. Если при этом начальная функция u0(x) удовлетворяет условию

    ,

    то вблизи момента обострения справедлива оценка

    .

    Эта оценка ясно показывает, что обострение происходит лишь в одной точке пространства x = 0. Пример численного расчета задачи (26) при  > +1 приведен на рис. 6. Отчетливо видно, что решение обостряется только в одной точке (при выбранных начальных данных для расчета x = 6 – единственная точка обострения).

    Подобные результаты могут быть получены и для более общих уравнений типа (28)





     
    polkaknig@narod.ru ICQ 474-849-132 © 2005-2009 Материалы этого сайта могут быть использованы только со ссылкой на данный сайт.