§4. Монотонность режимов с обострением
и методы сравнения решений различных уравнений
Результаты, которые излагались в §2 и §3 были получены для
уравнений со степенными нелинейностями типа (23)–(26). Преимущество таких
уравнений состоит в том, что они допускают инвариантные (автомодельные)
решения. Понятно, что такими "точными" решениями с ясными
геометрическими и эволюционными свойствами обладает лишь очень узкий круг
квазилинейных параболических уравнений. В то же время ясно, что подобные
характерные свойства (обострение, локализация, эффективная локализация) присущи
и другим задачам для уравнения типа (1). Как же в этом случае, когда нет
"точных" решений, описать свойства произвольных решений? В этом
параграфе мы кратко изложим некоторые подходы к сравнению решений различных
уравнений типа (1). Очевидно, что для эффективного приложения этой теории
сравнения, с одной стороны, должны использоваться решения с хорошо изученными
свойствами (автомодельные, инвариантно-групповые, точные и т.п.), а с
другой – произвольные решения задач.
Для удобства еще раз сформулируем начально-краевую задачу
для уравнения (1) в области :
, (28)
, (29)
. (30)
Определение 1. Решение задачи (28)–(29)–(30) называется
критическим, если всюду в T = (0;T)´ выполнено неравенство
. (31)
Условие (31) означает монотонность решения u(t,x), оно
существенно для формулировки следующих результатов. Заметим, что свойство
критичности решения интересно и само по себе. Если мы установим, что решение
критическое и неограниченное, то мы ответим на важный вопрос: будет ли
"движение" к катастрофе монотонным или же возможны периоды
"спада напряжения"?
Рассмотрим решения u()(t,x),
= 1,2 двух различных задач (28)–(29)–(30) с коэффициентами
k()(u), Q()(u) и функциями u0()(x), u1()(x),
= 1,2.
Утверждение 11. Пусть u0(2)(x) ³ u0(1)(x) при x Î , u1(2)(t,x) ³ u1(1)(t,x) на (0;T)´¶.
Пусть, кроме того решение u(2)(t,x) – критическое и для всех p ³ 0 справедливы неравенства

Тогда u(2)(t,x) ³ u(1)(t,x)
на (0;T)´.
Утверждение 11 может быть использовано, например,
следующим образом:
если решение одной задачи u(1)(t,x) – неограниченное и известны его свойства,
то мы определили класс коэффициентов k(2)(u), Q(2)(u) и начально-краевых
условий u0(2)(x) и u1(2)(x), при которых решение задачи (28)–(29)–(30) также
будет неограниченным, это дает возможность получить оценку снизу для времени
обострения;
если же u(2)(t,x) – глобальное решение, то установлен класс задач (28)–(29)–(30),
у которых решение также глобальное, т.е. катастрофа отсутствует.
Понятие критичности решения (31) можно эффективно расширить
следующим образом:
Определение 2. Решение задачи (28)–(29)–(30) при
u1(t,x) = 0 назовем ‑критическим, если
. (32)
Условия на достаточно гладкую функцию , при которых
решение задачи (28)–(29)–(30) удовлетворяет неравенству (32), в этом случае
имеют вид
, (33)
. (34)
Если удается найти функцию , удовлетворяющую (34) и
обладающую свойством
,
то можно утверждать, что решение задачи (28)–(29)–(30) будет
неограниченным, и дать оценку времени обострения решения с начальной функцией,
удовлетворяющей (33). А именно, если
,
то в этом случае найдется такой момент времени
,
что
.
Условия критичности (31) и ‑критичности (32)
достаточно обременительны, поскольку они накладывают ограничения на начальную
функцию (29). Кроме того, они гарантируют монотонность процессов во всей
рассматриваемой области, что также излишне для эффективного исследования
режимов с обострением. Опыт математического моделирования различных задач типа (28)–(29)–(30)
показывает, что решение на развитой стадии обострения обладает свойством
монотонного возрастания, по крайней мере, в некоторой области пространства.
Лишь недавно этот факт удалось обосновать достаточно строго математически.
Сформулируем этот результат, например, для задачи Коши (26).
Утверждение 12. Пусть в задаче (26) начальная функция
u0(x) четная и max u0(x) = u0(0) > 0. Тогда
существует постоянная MK = MK(u0,,) > 0,
зависящая от параметров задачи, такая, что если в некоторый момент времени
> 0 выполнено неравенство
u(,0) > MK, то ut(t,0) ³ 0
при всех допустимых t > .
Доказательство этого факта основано на сравнении
произвольного решения u(t,x) задачи (26) с семейством стационарных решений
уравнения (26). Тем самым по виду начальной функции можно оценить тот барьер,
выходя за который решение будет только расти.