§4. Монотонность режимов с обострением и методы сравнения решений различных уравнений

Результаты, которые излагались в §2 и §3 были получены для уравнений со степенными нелинейностями типа (23)–(26). Преимущество таких уравнений состоит в том, что они допускают инвариантные (автомодельные) решения. Понятно, что такими "точными" решениями с ясными геометрическими и эволюционными свойствами обладает лишь очень узкий круг квазилинейных параболических уравнений. В то же время ясно, что подобные характерные свойства (обострение, локализация, эффективная локализация) присущи и другим задачам для уравнения типа (1). Как же в этом случае, когда нет "точных" решений, описать свойства произвольных решений? В этом параграфе мы кратко изложим некоторые подходы к сравнению решений различных уравнений типа (1). Очевидно, что для эффективного приложения этой теории сравнения, с одной стороны, должны использоваться решения с хорошо изученными свойствами (автомодельные, инвариантно-групповые, точные и т.п.), а с другой – произвольные решения задач.

Для удобства еще раз сформулируем начально-краевую задачу для уравнения (1) в области :

,       (28)

,            (29)

.          (30)

Определение 1. Решение задачи (28)–(29)–(30) называется критическим, если всюду в T = (0;T)´ выполнено неравенство

.        (31)

Условие (31) означает монотонность решения u(t,x), оно существенно для формулировки следующих результатов. Заметим, что свойство критичности решения интересно и само по себе. Если мы установим, что решение критическое и неограниченное, то мы ответим на важный вопрос: будет ли "движение" к катастрофе монотонным или же возможны периоды "спада напряжения"?

Рассмотрим решения u()(t,x),  = 1,2 двух различных задач (28)–(29)–(30) с коэффициентами k()(u), Q()(u) и функциями u0()(x), u1()(x),  = 1,2.

Утверждение 11. Пусть u0(2)(x) ³ u0(1)(x) при x Î , u1(2)(t,x) ³ u1(1)(t,x) на (0;T)´¶. Пусть, кроме того решение u(2)(t,x) – критическое и для всех p ³ 0 справедливы неравенства

Тогда u(2)(t,x) ³ u(1)(t,x) на (0;T)´.

Утверждение 11 может быть использовано, например, следующим образом:

         если решение одной задачи u(1)(t,x) – неограниченное и известны его свойства, то мы определили класс коэффициентов k(2)(u), Q(2)(u) и начально-краевых условий u0(2)(x) и u1(2)(x), при которых решение задачи (28)–(29)–(30) также будет неограниченным, это дает возможность получить оценку снизу для времени обострения;

         если же u(2)(t,x) – глобальное решение, то установлен класс задач (28)–(29)–(30), у которых решение также глобальное, т.е. катастрофа отсутствует.

Понятие критичности решения (31) можно эффективно расширить следующим образом:

Определение 2. Решение задачи (28)–(29)–(30) при u1(t,x) = 0 назовем ‑критическим, если

.    (32)

Условия на достаточно гладкую функцию , при которых решение задачи (28)–(29)–(30) удовлетворяет неравенству (32), в этом случае имеют вид

,        (33)

.      (34)

Если удается найти функцию , удовлетворяющую (34) и обладающую свойством

,

то можно утверждать, что решение задачи (28)–(29)–(30) будет неограниченным, и дать оценку времени обострения решения с начальной функцией, удовлетворяющей (33). А именно, если , то в этом случае найдется такой момент времени , что .

Условия критичности (31) и ‑критичности (32) достаточно обременительны, поскольку они накладывают ограничения на начальную функцию (29). Кроме того, они гарантируют монотонность процессов во всей рассматриваемой области, что также излишне для эффективного исследования режимов с обострением. Опыт математического моделирования различных задач типа (28)–(29)–(30) показывает, что решение на развитой стадии обострения обладает свойством монотонного возрастания, по крайней мере, в некоторой области пространства. Лишь недавно этот факт удалось обосновать достаточно строго математически. Сформулируем этот результат, например, для задачи Коши (26).

Утверждение 12. Пусть в задаче (26) начальная функция u0(x) четная и max u0(x) = u0(0) > 0. Тогда существует постоянная MK = MK(u0,,) > 0, зависящая от параметров задачи, такая, что если в некоторый момент времени  > 0 выполнено неравенство u(,0) > MK, то ut(t,0) ³ 0 при всех допустимых t > .

Доказательство этого факта основано на сравнении произвольного решения u(t,x) задачи (26) с семейством стационарных решений уравнения (26). Тем самым по виду начальной функции можно оценить тот барьер, выходя за который решение будет только расти.